单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{5}=5 S_{3}-4$ ，则 $S_{4}=$
$\text{A.}$ 7
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 15
$\text{D.}$ 30
记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4}=-5, S_{6}=21 S_{2}$ ，则 $S_{8}=$
$\text{A.}$ 120
$\text{B.}$ 85
$\text{C.}$ -85
$\text{D.}$ -120
记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{2}=4, S_{4}=6$ ，则 $S_{6}=$
$\text{A.}$ 7
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 10
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $a_{n}=(-1)^{n}(2 n-1)$ ，则该数列的前 100 项之和为（ ）
$\text{A.}$ -200
$\text{B.}$ -100
$\text{C.}$ 200
$\text{D.}$ 100
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$ ，则 $S_{5}$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{30}$
设 $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$ ，则 $S=()$
$\text{A.}$ $\frac{2 n+1}{n+1}$
$\text{B.}$ $\frac{2 n-1}{n}$
$\text{C.}$ $\frac{n+1}{n}$
$\text{D.}$ $\frac{n+2}{n+1}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为无穷等比数列，$a_{1}=3, a_{n}$ 的各项和为 $9, b_{n}=a_{2 n}$ ，则数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的各项和为 $\qquad$ ．
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 $20 d m \times 12 d m$ 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 $10 d m \times 12 d m, 20 d m \times 6 d m$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_{1}=240 d m^{2}$ ，对折 2 次共可以得到 $5 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}, 10 \mathrm{dm} \times 6 \mathrm{dm}, 20 \mathrm{dm} \times 3 \mathrm{dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_{2}=180 \mathrm{dm}^{2}$ ，以此类推．则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 $\qquad$ ，如果对折 $n$ 次，那么 $\sum_{k=1}^{n} S_{k}=$ $d m^{2}$
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ ，若前 $n$ 项和为 10 ，则项数 $n$ 为 $\qquad$ ．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}=n \cdot 2^{n}$ ，则 $S_{n}=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_{n}=n a_{n}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数 }, \\ a_{n}+2, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）记 $b_{n}=a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}, b_{2}$ ，并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和．
$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$b_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}-6, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_{n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}_{\text {的前 } n \text { 项和，} S_{4}=32 \text { ，}}$ $T_{3}=16$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：当 $n > 5$ 时，$T_{n} > S_{n}$ ．
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．