某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 $20 d m \times 12 d m$ 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 $10 d m \times 12 d m, 20 d m \times 6 d m$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_{1}=240 d m^{2}$ ，对折 2 次共可以得到 $5 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}, 10 \mathrm{dm} \times 6 \mathrm{dm}, 20 \mathrm{dm} \times 3 \mathrm{dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_{2}=180 \mathrm{dm}^{2}$ ，以此类推．则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 $\qquad$ ，如果对折 $n$ 次，那么 $\sum_{k=1}^{n} S_{k}=$ $d m^{2}$