单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1$ 和 $X_2$ 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 $f_1(x)$和 $f_2(x)$ ，分布函数分别为 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ ，则 $($ 。
$\text{A.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度
$\text{B.}$ $F_1(x) F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
$\text{C.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
$\text{D.}$ $f_1(x) f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
盒子里装有 3 只黑球，2只红球， 2 只白球，在其中任选 4 只球，以 $X$ 表示取到黑球的只数，以 $Y$ 表示取到红球的只数，求 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}e^{-y}, & 0 < x < y \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（1）求随机变量 $X$ 的密度 $f_X(x)$ ；
（2）求概率 $P\{X+Y \leqslant 1\}$ ．
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}1, & |y| < x, 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
求条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x), \quad f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．
一个电子仪器由两个部件构成，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）．已知 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数为：
$$
F(x, y)= \begin{cases}1-e^{-0.5 x}-e^{-0.5 y}+e^{-0.5(x+y)}, & \text { 若 } x \geqslant 0, y \geqslant 0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
（1）问 $X$ 和 $Y$ 是否独立？
（2）求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 $\alpha$ ．
设两个相互独立的随机变量 $\xi$ 与 $\eta$ 的分布律为
求随机变量 $Z=\xi+\eta$ 的分布律．
将一枚硬币郑 3 次，以 $X$ 表示前 2 次中出现 $H$ 的次数，以 $Y$ 表示 3 次中出现 $H$ 的次数，求 $X, Y$ 的联合分布律以及边缘分布律．
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f_X(x)= \begin{cases}\frac{1}{2}, & -1 < x < 0 \\ \frac{1}{4}, & 0 \leqslant x < 2 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
令 $Y=X^2, F(x, y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数．求
（1）$Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ ；
（2）$F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2-x-y, & 0 < x < 1,0 < y < 1 \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（1）求 $P\{X>2 Y\}$ ；
（2）求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}
e^{-x}, & 0 < y < x \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
（1）求条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ；
（2）求条件概率 $P\{X \leqslant 1 \mid Y \leqslant 1\}$ ．
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，它们的概率密度均为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{-x}, & x>0 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$
求 $Z=\frac{Y}{X}$ 的概率密度．