解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2-a x-2 \ln x(a \in R )$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（2）若函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a e^x(x-2)(a \neq 0)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）当 $a=-1$ 时，求函数 $g(x)=f(x)+x^2-2 x$ 的极值．
已知函数 $f(x)=(a-x) e ^x, a \in R$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的极值；
（2）若对任意 $x \in[0,+\infty)$ ，都有 $f(x)-x \leq 2$ 成立，求 $a$ 的取值范围．
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点与椭圆：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的一个焦点重合．
（1）求抛物线 $C$ 的方程；（2）若直线 $l: x=m y+4$ 交抛物线 $C$ 于 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 两点，$O$ 为原点，求证： $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ ．
已知双曲线 $C: \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=2 x$ ，一个焦点到该渐近线的距离为 1 ．
（1）求 $C$ 的方程；（2）经过点 $M(1,4)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $l$ 的方程．
设 $F_1, ~ F_2$ 分别为双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点，且 $F_2$ 也为抛物线 $y^2=8 x$ 的的焦点，若点 $P(0,2 b)$ ， $F_1, F_2$ 是等腰直角三角形的三个顶点．
（1）双曲线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l: y=\frac{1}{2} x-1$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A, ~ B$ 两点，求 $|A B|$ ．