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设 $F_1, ~ F_2$ 分别为双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点，且 $F_2$ 也为抛物线 $y^2=8 x$ 的的焦点，若点 $P(0,2 b)$ ， $F_1, F_2$ 是等腰直角三角形的三个顶点．
（1）双曲线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l: y=\frac{1}{2} x-1$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A, ~ B$ 两点，求 $|A B|$ ．
                        
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