2025年普通高等学校《高等数学上》期末考试模拟试卷

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2025年普通高等学校《高等数学上》期末考试模拟试卷

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

x = 0

是函数

f (x) = \frac{\arctan x}{x}

的

A.

连续点;

B.

可去间断点;

C.

跳跃间断点;

D.

无穷间断

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2. 设函数

f (x)

在

x = 0

的某个邻域内具有连续二阶导数, 且

lim_{x \to 0} \frac{f^{''} (x)}{e^{x} - 1} = 1

,则

f (x)

在

x = 0

处 ( ).

A.

有极值;

B.

无极值;

C.

无拐点;

D.

有拐点.

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3. 设函数

f (x) = x^{4} + | x^{3} |

, 则使

f^{(n)} (0)

存在的最高阶数

n = ()

A.

1 ;

B.

2 ;

C.

3 ;

D.

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4. 设函数

f^{'} (x)

连续, 则

\int f^{'} (2 x) d x = ()

A.

f (2 x) + c

;

B.

2 f (x) + c

;

C.

\frac{1}{2} f (2 x) + c

;

D.

x f (2 x) + c

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5. 设反常积分

\int_{1}^{+ \infty} x^{- k} d x

收敛，则

A.

k > 1

;

B.

k ⩾ 1

;

C.

k ⩽ 1

;

D.

k < 1

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6. 求

lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{π}{n}}{n + 1} + \frac{\sin \frac{2 π}{n}}{n + \frac{1}{2}} + \dots + \frac{\sin \frac{n π}{n}}{n + \frac{1}{n}}

A.

B.

\frac{2}{π}

C.

\frac{π}{2}

D.

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} =

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8. 设函数

f (x)

可导, 且

y = f (\sin^{2} x) + f (\cos^{2} x)

, 则

\frac{d y}{d x} =

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\int_{0}^{n π} | \sin x | d x =

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10. 设

f (x) = x \sin x

, 则

f^{(6)} (0) =

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11. 曲线

y = \ln (1 - x^{2}) 0 \leq x \leq \frac{1}{2}

的弧长为

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12. 当

x \to 0

时求

\frac{d}{d x} \int_{x^{2}}^{e^{x}} \ln t d t

值为

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 计算

\int_{0}^{+ \infty} x^{2010} \cdot e^{- x} d x

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14. 计算求正常数

a, b

, 使得

lim_{x \to 0} \frac{1}{b x - \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2} d t}{\sqrt{a + t^{2}}} = 3

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15. 试确定常数 C 之值, 使得曲线

y = x + C x^{2}

与直线

x = 1, x = 2

及

x

轴所围成的平面图形绕

x

轴旋转一周所得旋转体的体积最小。

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16. 设函数

f (x)

在

[a, b]

上连续,

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} x f (x) d x = 0

,求证:

\exists ξ, η \in (a, b), (ξ \neq η)

, 使得

f (ξ) = 0, f (η) = 0

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17. 设

f (x) = [φ (x) - φ (0)] \ln (1 + 2 x), g (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{1 + t^{3}} d t

, 其中

φ (x)

在

x = 0

处可导, 且

φ^{'} (0) = 1

, 证明:

f (x)

与

g (x)

为

x \to 0

时的同阶无穷小。

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