单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 , 则
$\text{A.}$ $a>1$.
$\text{B.}$ $a < -2$.
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$.
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x = P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$, 其中 $P =$ $\left(e_1, e_2, e_3\right)$, 若 $Q=\left( e _1,- e _3, e _2\right)$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x = Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵, $E$ 是 3 阶单位矩阵. 若 $A ^2+ A =2 E$, 且 $| A |=4$, 则二次型 $x ^{ T } A x$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$, 则在实数域上与 $A$ 合同矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$.
设 $A =\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同且相似.
$\text{B.}$ 合同但不相似.
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 不合同且不相似.
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同，且相似。
$\text{B.}$ 合同，但不相似.
$\text{C.}$ 不合同, 但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，也不相似.
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵, 如果二次曲面方程 $(x, y, z) A \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=1$ 在正交变换下的标准方程的图形如图所示, 则 $A$ 的正特征值的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 单叶双曲面.
$\text{B.}$ 双叶双曲面.
$\text{C.}$ 椭球面.
$\text{D.}$ 柱面.
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$, 则 $f$ 的正惯性指数为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 3