单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 是 4 阶矩阵, 且 $| A |=0$, 则 $A$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0 。
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例.
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合.
$\text{D.}$ 任一列向量是其余列向量的线性组合.
设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩 $r ( A )=r < n$, 那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关.
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量都线性无关.
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组.
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 均为 $n$ 维向量, 下列结论不正确的是
$\text{A.}$ 若对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_8$, 都有 $k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_8 \alpha _8 \neq$ $0$, 则 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha$, 线性无关.
$\text{B.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _3$ 线性相关, 则对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$, 都有 $k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_s \alpha _s= 0$.
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha$, 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 $s$.
$\text{D.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha$, 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
若向量组 $\alpha , \beta , \gamma$ 线性无关, $\alpha , \beta , \delta$ 线性相关, 则
$\text{A.}$ $\alpha$ 必可由 $\beta , \gamma , \delta$ 线性表示.
$\text{B.}$ $\beta$ 必不可由 $\alpha , \gamma , \delta$ 线性表示.
$\text{C.}$ $\delta$ 必可由 $\alpha , \beta , \gamma$ 线性表示.
$\text{D.}$ $\delta$ 必不可由 $\alpha , \beta , \gamma$ 线性表示.
设 $\alpha _1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha _4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_4\end{array}\right)$, 其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数则下列向量组线性相关的为
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$.
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _4$.
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _3, \alpha _4$.
$\text{D.}$ $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$.
设向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关, 则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha _1- \alpha _2, \alpha _2- \alpha _3, \alpha _3- \alpha _1$.
$\text{B.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _1$.
$\text{C.}$ $\alpha _1-2 \alpha _2, \alpha _2-2 \alpha _3, \alpha _3-2 \alpha _1$.
$\text{D.}$ $\alpha _1+2 \alpha _3, \alpha _2+2 \alpha _3, \alpha _3+2 \alpha _1$.
设向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关, 向量 $\beta _1$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示, 而向量 $\beta _2$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示, 则对于任意常数 $k$, 必有
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, k \beta _1+ \beta _2$ 线性无关.
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, k \beta _1+ \beta _2$ 线性相关.
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1+k \beta _2$ 线性无关.
$\text{D.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1+k \beta _2$ 线性相关
设 $n$ 维列向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m(m < n)$ 线性无关, 则 $n$ 维列向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性无关的充分必要条件为
$\text{A.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 可由向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性表示.
$\text{B.}$ 向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 可由向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 线性表示.
$\text{C.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 与向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 等价.
$\text{D.}$ 矩阵 $A =\left( \alpha _1, \cdots, \alpha _m\right)$ 与矩阵 $B =\left( \beta _1, \cdots, \beta _m\right)$ 等价.
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ 是满秩的, 则直线 $\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}$ 与线 $\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}-\frac{z-c_1}{c_2-c_3}$
$\text{A.}$ 相交于一点.
$\text{B.}$ 重合.
$\text{C.}$ 平行但不重合.
$\text{D.}$ 异面.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 3 维向量空间 $R ^3$ 的一组基, 则由基 $\alpha _1, \frac{1}{2} \alpha _2, \frac{1}{3} \alpha _3$ 到基 $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.