单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)$ 具有一阶偏导数, 且在任意的 $(x, y)$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} < 0$,则
$\text{A.}$ $f(0,0)>f(1,1)$.
$\text{B.}$ $f(0,0) < f(1,1)$.
$\text{C.}$ $f(0,1)>f(1,0)$.
$\text{D.}$ $f(0,1) < f(1,0)$.
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$.
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$.
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在.
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 连续, 偏导数存在.
$\text{B.}$ 连续, 偏导数不存在.
$\text{C.}$ 不连续, 偏导数存在.
$\text{D.}$ 不连续, 偏导数不存在.
设 $f(x, y)= e ^{\sqrt{x^2+y^4}}$, 则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
设有三元方程 $x y-z \ln y+ e ^{x z}=1$, 根据隐函数存在定理, 存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$.
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$.
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$.
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$.
设函数 $f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数, 满足 $f(0)>0, g(0) < 0$, 且 $f^{\prime}(0)=$ $g^{\prime}(0)=0$, 则函数 $z=f(x) g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0) < 0$.
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0) < 0$.
二元函数 $z=x y(3-x-y)$ 的极值点是
$\text{A.}$ $(0,0)$.
$\text{B.}$ $(0,3)$.
$\text{C.}$ $(3,0)$.
$\text{D.}$ $(1,1)$.
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$, 则
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点.
$\text{D.}$ 根据所给条件无法判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点.
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数, 且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$, 已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点, 下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$, 则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$.
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$, 则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$.
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$, 则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$.
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$, 则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$.