解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A =\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$, 求一个可逆矩阵 $P$, 使 $P A$ 为行最简形.
设 $A =\left(\begin{array}{rrr}-5 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right)$,
(1) 求一个可逆矩阵 $P$, 使 $P A$ 为行最简形;
(2) 求一个可逆矩阵 $Q$,使 $Q A { }^{ T }$ 为行最简形.
利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:
$$
\left(\begin{array}{rrrr}
3 & -2 & 0 & -1 \\
0 & 2 & 2 & 1 \\
1 & -2 & -3 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 1
\end{array}\right)
$$
求矩阵的秩
$$
\left(\begin{array}{rrrr}
3 & 1 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 2 & -1 \\
1 & 3 & -4 & 4
\end{array}\right)
$$
设 $A =\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 k \\ -1 & 2 k & -3 \\ k & -2 & 3\end{array}\right)$, 问 $k$ 为何值,可使
(1) $R( A )=1$ ；
(2) $R(A)=2$;
(3) $R( A )=3$.
设有线性方程组
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & \lambda-1 & -2 \\
0 & \lambda-2 & \lambda+1 \\
0 & 0 & 2 \lambda+1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
5
\end{array}\right)
$$
问 $\lambda$ 为何值时（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解。