填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $a, b \in R$ 且 $a>0$ ，如果对任意 $x \in R$ ，可微函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x)=a f^{\prime}(-x)+b,
$$
则满足条件的所有 $f(x)$ 的表达式为
设 $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ ，则 $f^{(3 n+1)}(0)=$ $\qquad$ ，其中 $n=0,1,2, \cdots$.
曲面 $S: x^2+y^2+z^4-z^3=0$ 所围成的体积为
设 $f(x, y, z)=x y^2 z^3 e^{x y z}$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程
$$
x+y+z+x y z=0
$$
确定的隐函数，则 $f_x^{\prime}(0,1,-1)=$
设闭曲线 $L:|x|+|y|=1$ 取逆时针方向, 则对坐标的曲线积分
$$
\int_L \frac{-y-x^2}{x^2+y^2+2|x y|} d x+\frac{x+y^2}{x^2+y^2+2|x y|} d y=
$$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
对于一个实数 $x$ ，令 $f(x)=x-[x]$ ，其中 $[x]$表示不超过 $x$ 的最大整数，计算积分 $\int_0^{2024} \min \left\{f\left(\frac{x}{8}\right), f\left(\frac{x}{4}\right)\right\} d x$.
设 $f(x, y)$ 具有连续的偏导数，且
$$
f(t x, t y)=t^2 f(x, y), f(1,2)=0, f_x^{\prime}(1,2)=3
$$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+f\left(x-\sin x+1, \sqrt{1+x^3}+1\right)\right]^{\frac{1}{x-\sin x-1+\sqrt{1+x^3}}}$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶导函数连续数且 $f(0)=f(1)=0 ， \frac{f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)}{f(x)}$ 在 $[0,1]$ 上可积，证明: 存在 $x_0 \in(0,1)$ ，使得
$$
\int_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)}{f(x)}\right| d x>\frac{e^{x_0}}{\left(e^{x_0}-1\right)\left(e-e^{x_0}\right)}
$$
计算 $\iint_{\Sigma} x^2 d y d z+y^2 d z d x+z^2 d x d y$ ，其中 $\Sigma:(x-1)^2+(y-1)^2+\frac{z^2}{4}=1(y \geq 1)$ ，取外侧.
设 $a_n=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^k+1}$. 证明: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} a_n$绝对收敛并求其和.