【24999】 【 新高考新结构数列、概率统计压轴题汇总训练】 解答题 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效。某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 $\frac{2}{3}$ ，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 $\frac{1}{3}$ ，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率． （2）记该同学第 $n$ 天中午选择冰糖雪梨汤的概率为 $P_n$ ，证明：$\left\{P_n-\frac{3}{7}\right\}$ 为等比数列． （3）求从第 1 天到第 10 天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．

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【24998】 【 新高考新结构数列、概率统计压轴题汇总训练】 解答题 这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来。据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客 304.79 万人次，实现旅游总收入 59.14 亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中 $75 \%$ 的游客计划只游览冰雪大世界，另外 $25 \%$ 的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人。每位游客若只游览冰雪大世界，则得到 1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得 2 份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率． （1）从冰雪大世界的游客中随机抽取 3 人，记这 3 人获得文旅纪念品的总个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望； （2）记 $n$ 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为 $n+1$ 个的概率为 $a_n$ ，求 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ； （3）从冰雪大世界的游客中随机抽取 100 人，这些游客得到纪念品的总个数恰为 $n$ 个的概率为 $b_n$ ，当 $b_n$ 取最大值时，求 $n$ 的值．

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【24997】 【 新高考新结构数列、概率统计压轴题汇总训练】 解答题 ＂绿色出行，低碳环保＂的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚。甲，乙，丙三人为响应＂绿色出行，低碳环保＂号召，他们计划每天选择＂共享单车＂或＂地铁＂两种出行方式中的一种。他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{2}{3}$ ，丙在每月第一天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{3}{4}$ ，从第二天起，若前一天选择＂共享单车＂，后一天继续选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，若前一天选择＂地铁＂，后一天继续选择＂地铁＂的概率为 $\frac{1}{3}$ ，如此往复． （1）若 3 月 1 日有两人选择＂共享单车＂出行，求丙选择＂共享单车＂的概率； （2）记甲，乙，丙三人中 3 月 1 日选择＂共享单车＂出行的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望； （3）求丙在 3 月份第 $n(n=1,2, \cdots, 31)$ 天选择＂共享单车＂的概率 $P_n$ ，并帮丙确定在 3 月份中选择＂共享单车＂的概率大于＂地铁＂的概率的天数．

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【24996】 【 新高考新结构数列、概率统计压轴题汇总训练】 解答题 甲 乙丙三人进行传球游戏，每次投郑一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于 3 ，则甲将球传给乙，若点数不大于 3 ，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于 4 ，则乙将球传给甲，若点数不大于 4 ，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于 3 ，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于 3 ，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中。 （1）设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望； （2）投掷 $n$ 次骰子后 $\left(n \in N ^*\right)$ ，记球在乙手中的概率为 $p_n$ ，求数列 $\left\{p_n\right\}$ 的通项公式； （3）设 $d_n=\frac{2}{\left|3 p_n-1\right|}-2$ ，求证：$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}<\frac{d_1}{d_2}+\frac{d_2}{d_3}+\cdots+\frac{d_n}{d_{n+1}}<\frac{n}{2}\left(n \in N^*\right)$ ．

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【24995】 【 新高考新结构数列、概率统计压轴题汇总训练】 解答题 某学校有甲 乙 丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同。若某天是甲管理停车场，则下一天有 $\frac{1}{2}$ 的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有 $\frac{2}{3}$ 的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有 $\frac{1}{3}$ 的概率是甲管理停车场．已知今年第 1 天管理停车场的是甲． （1）求第 4 天是甲管理停车场的概率； （2）求第 $n$ 天是甲管理停车场的概率； （3）设今年甲 乙 丙管理停车场的天数分别为 $X, Y, Z$ ，判断 $E(X), E(Y), E(Z)$ 的大小关系．（给出结论即可，不需要说明理由）

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【24994】 【 新高考新结构数列、概率统计压轴题汇总训练】 解答题 在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在 $R S A$ 加密算法中的应用。设 $p, q$ 是两个正整数，若 $p, q$ 的最大公约数是 1 ，则称 $p, q$ 互素．对于任意正整数 $n$ ，欧拉函数是不超过 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数的个数，记为 $\varphi(n)$ ． （1）试求 $\varphi(3), \varphi(9), \varphi(7), \varphi(21)$ 的值； （2）设 $n$ 是一个正整数，$p, q$ 是两个不同的素数．试求 $\varphi\left(3^n\right), \varphi(p q)$ 与 $\varphi(p)$ 和 $\varphi(q)$ 的关系； （3）$R S A$ 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ① 准备两个不同的，足够大的素数 $p, q$ ； ② 计算 $n=p q$ ，欧拉函数 $\varphi(n)$ ； ③ 求正整数 $k$ ，使得 $k q$ 除以 $\varphi(n)$ 的余数是 1 ； ④其中 $(n, q)$ 称为公钥，$(n, k)$ 称为私钥． 已知计算机工程师在某 $R S A$ 加密算法中公布的公钥是 $(187,17)$ 。若满足题意的正整数 $k$ 从小到大排列得到一列数记为数列 $\left\{b_n\right\}$ ，数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $80 c_n=b_n+47$ ，求数列 $\left\{\tan c_n \cdot \tan c_{n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【24993】 【 新高考新结构数列、概率统计压轴题汇总训练】 解答题 设动点 $P$ 每次沿数轴的正方向移动，且第 i 次移动 1 个单位的概率为 $p_i$ ，移动 2 个单位的概率为 $1-p_i$ ．已知 $a_n$ 表示动点 $P$ 在数轴上第 $n$ 次移动后表示的数，在第一次移动前动点 $P$ 在数轴的原点处． （1）若 $p_1=\frac{1}{2}, p_2=\frac{1}{3}$ ，求 $a_2=3$ 的概率； （2）若每次移动 2 个单位的概率都是移动 1 个单位的概率的 2 倍． ① 求 $a_n=n+k(k=0,1,2, \cdots n)$ 的概率； ② 求动点 $P$ 能移动到自然数 $n$ 处的概率 $P_n\left(n \in N^*\right)$ ．

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【24992】 【 中考数学不等式专项训练】 解答题 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲，乙两种作物．如果种植 3 亩甲作物和 2 亩乙作物需要 27 名学生，种植 2 亩甲作物和 2 亩乙作物需要 22 名学生。 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和 1 亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲，乙两种作物共 10 亩，所需学生人数不超过 55 人，至少种植甲作物多少亩？

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【24991】 【 中考数学不等式专项训练】 解答题 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买 1 棵脐橙树苗和 2 棵黄金贡柚树苗共需 110元；购买 2 棵脐橙树苗和 3 棵黄金贡柚树苗共需 190 元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共 1000 棵，总费用不超过 38000 元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？

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【24990】 【 中考数学不等式专项训练】 解答题 定义 我们把数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离叫做数 $a$ 的绝对值．数轴上表示数 $a, b$ 的点 $A, B$ 之间的距离 $A B=a-b(a \geq b)$ ．特别的，当 $a \geq 0$ 时，表示数 $a$ 的点与原点的距离等于 $a-0$ ．当 $a<0$ 时，表示数 $a$ 的点与原点的距离等于 $0-a$ ． 应用 如图，在数轴上，动点 $A$ 从表示 -3 的点出发，以 1 个单位／秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点 $B$ 从表示 12 的点出发，以 2 个单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动． [img=/uploads/2025-03/affac5.jpg][/img] （1）经过多长时间，点 $A, B$ 之间的距离等于 3 个单位长度？ （2）求点 $A, B$ 到原点距离之和的最小值．

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