单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
下列反常积分中收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{1}{(x-1)^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^3} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2+2 x+2} d x$
$\text{D.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} d x$
双纽线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2$ 所围成的区域面积可用定积分表示为
$\text{A.}$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$.
$\text{B.}$ $4 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$.
$\text{C.}$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2 \theta} d \theta$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2 \theta)^2 d \theta$.
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sin ^a\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cdot \cos ^{1-a}\left(\frac{\pi}{2} x\right)} d x$ 收敛，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $-1 < a < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1$
$\text{C.}$ $0 < a < 2$
$\text{D.}$ $-1 < a < 0$
设 $f_1(x), f_2(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_1, C_2$ 为两个任意常数，则 $C_1 f_1(x)+C_2 f_2(x)$ 是该方程通解的充分条件是
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)-f_2(x) f_1^{\prime}(x)=0$ ．
$\text{B.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)+f_2(x) f_1^{\prime}(x)=0$ ．
$\text{C.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)+f_2(x) f_1^{\prime}(x) \neq 0$ ．
$\text{D.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)-f_2(x) f_1^{\prime}(x) \neq 0$ ．
设函数 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ 分别为一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的三个不同的解，已知 $y_1(0)=a, y_2(0)=b, y_3(0)=c$ ，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $p(x), q(x)$ 有关．
$\text{B.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $a, b, c$ 的取值有关．
$\text{C.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为大于 0 的常数．
$\text{D.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为小于 0 的常数．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知反常积分 $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}} \mathrm{~d} x=1$ ，则 $a=$
微分方程 $y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解为
过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 且满足关系式 $y^{\prime} \arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=1$ 的曲线方程为
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} \sin \pi x(0 \leq x \leq 1)$ 与 $x$所围成，则 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积为
设定义在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的函数 $y(x)$ 满足微分方程 $2 y^{\prime}=1-\mathrm{e}^{x-2 y} \tan ^3 x$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $y(x)=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{1+x^2}} d x$ ．
设 $m, n$ 为常数，若反常积分收敛， $\int_0^{+\infty} \frac{x^n\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)}{(1+x)^m} \mathrm{~d} x$ 收敛，求 $m, n$ 的取值范围．
设 $f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，求 $f(x)$ ．
已知 $y_1=x \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}, y_2=x \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}, y_3=x \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解．求此微分方程，并求此微分方程的通解．
设曲线 $y=f(x)$ ，其中 $y=f(x)$ 是可导函数，且 $f(x)>0$ ．已知曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=0, x=1$ 及 $x=t(t>1)$ 所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的 $\pi t$ 倍，求该曲线方程．
已知 $y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime}-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^2}{2}}$ ，且有 $y(1)=\sqrt{e}$.
(1) 求 $y(x)$ ；
(2) $D=\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq y(x)\}$ ，求平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体体积.
已知曲线 $y=f(x)$ 是微分方程 $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=(4-6 x) \mathrm{e}^{-x}$ 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0 ．试求：
（1）当 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 到 $x$ 轴的最大距离．
（2） $\int_0^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
$D_1$ 为曲线 $y=2 x-x^2$ 与直线 $y=k x(0 < k < 2)$ 所围成的图形，面积记为 $S_1 ; D_2$ 为曲线 $y=2 x-x^2$ ，直线 $y=k x(0 < k < 2)$ 与 $x$ 轴所围成的图形，面积记为 $S_2$ ，且 $S_1: S_2=1: 7$ 。
（I）求常数 $k$ 的值，及曲线 $y=2 x-x^2$ 与直线 $y=k x(0 < k < 2)$ 的交点；
（II）求平面图形 $D_1$ 的周长以及 $D_1$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．
已知函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)= e ^{-x^2}$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} x f(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty} x^3 f(x) d x$ 均收敛．
（1）判断极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 是否存在，若存在，求其值；
（2）求 $f(0)$ ．
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足
$$
f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x
$$
（I）求函数 $f(x)$ 的表达式；
（II）记曲线 $y=f(x)$ 与 $y=-\frac{1}{4} \tan x$ 以及 $y$ 轴所围区域为 $D$ ，求区域 $D$ 绕直线 $y=-\frac{1}{4}$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．