单选题 （共 18 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：
(1) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ；
(2) 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
(3) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$ ；
(4) 若 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$.
其中所有真命题序号是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(4)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (2)(3)(4)
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜斩近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \quad x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ ${F}(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
设函数 $f(x)=\left(x^2+a\right) e^x$ ，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是 ( )
$\text{A.}$ $[0,1)$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $[1,2)$
$\text{D.}$ $[2,+\infty)$
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-\bar{x}\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{F}(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{F}(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有定义， 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=m$ 时， $f^{\prime}(0)=m$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(0)=m$ 时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=m$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=m$ 时， $f^{\prime}(0)=m$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime}(0)=m$ 时， $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=m$
函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3, \\ y=\mathrm{e}^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 2 e
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \mathrm{e}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \mathrm{e}$
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$
已知函数 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin t^3 \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+n x^{2 n}}$ ，则 $f(x)(\quad)$
$\text{A.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都连续
$\text{B.}$ 在 $x=1$ 处连续， $x=-1$ 处不连续
$\text{C.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都不连续
$\text{D.}$ 在 $x=1$ 处不连续， $x=-1$ 处连续
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在.
已知函数 $f(x)=\int_0^x e^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e^{r^2} d t \cdot \sin ^2 x$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零. 若当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, ( )
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left(e^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$
设函数 $f(x)$ 连续, 给出下列四个条件
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在;
(3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在;
(4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在;
其中能得到 " $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导"的条件个数是( )
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
在 $x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量中与 $x$ 等价的是
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$.
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$.
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$.
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$, 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, $(0,0)$ 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
设函数 $f(x)$ 连续, $\int_0^1 d y \int_0^y f(x) d x=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 x f(x) d x$.
$\text{B.}$ $\int_0^1(x+1) f(x) d x$.
$\text{C.}$ $\int_0^1(x-1) f(x) d x$.
$\text{D.}$ $\int_0^1(1-x) f(x) d x$.
填空题 （共 13 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $a b=$
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a b=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(2-x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right)=$
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$, 则 $a=$
已知函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^x+1\right) x^2$ ，则 $f^{(5)}(1)=$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x \frac{\left(1+t^2\right) \sin t^2}{1+\cos t^2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\int_2^{+\infty} \frac{5}{x^4+3 x^2-4} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3 x^2+1}$ 的渐近线方程为
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left[\ln \frac{1}{n}+2 \ln \frac{2}{n}+\cdots+(n-1) \ln \frac{n-1}{n}\right]=$
设 $g(x)$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x}$ 的反函数, 则曲线 $y=g(x)$ 的渐近线方程为
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知可导函数 $y=y(x)$ 满足
$$
a e^x+y^2+y-\ln (1+x) \cos y+b=0
$$
且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:
(1) 若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]
$$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|
$$
$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$
计算 $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)-e^{2 \sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$, 证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 并求 $f^{\prime}(0)$.
计算$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x .$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 可导, 证明导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$内严格单调递增的充分必要条件是: 对 $(a, b)$ 内任意 $x_1, x_2, x_3$, 当 $x_1 < x_2 < x_3$ 时, 有 $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} < \frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)}{x_3-x_2}$