单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,1)$ 单调递增时，$f(0)$ 是极小值
$\text{B.}$ 当 $f(0)$ 是极小值时，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,1)$ 单调递增
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的时，$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增
$\text{D.}$ $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增时，$f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^2+b x+\arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=1$
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-1$
$\text{D.}$ $a=\frac{2}{3}, b=1$
设线密度为 1 的细直棒的两个端点分别位于点 $(-1,0)$ 和点 $(1,0)$ 处，质量为 $m$ 的质点位于点 $(0,1)$处，$G$ 为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{2 G m x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{2 G m}{\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{2 G m x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \frac{2 G m}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
已知函数 $f(x)=\int_1^{x^3} \frac{e^t}{1+t^2} d t, f$ 的反函数为 $g$ ，则
$\text{A.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} e$
$\text{B.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 e}$
$\text{C.}$ $g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{3}{2} e$
$\text{D.}$ $g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 e}$
曲线 $y=x e^{\frac{1}{x}}$
$\text{A.}$ 无水平渐近线，无铅直渐近线
$\text{B.}$ 有水平渐近线，有铅直渐近线
$\text{C.}$ 无水平渐近线，有铅直渐近线
$\text{D.}$ 有水平渐近线，无铅直渐近线
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \sin ^2 t \\ y=t+\cos t\end{array}\left(t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\right)\right.$ 确定，则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln (x+1)}{x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^1 x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right) d x=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^1 f(x) d x=0$ ，记 $a=\int_0^1 f(x) d x$ ．
（1）证明 $a>0$ ；
（2）令 $F(x)=a\left(1-x^2\right)+\int_1^x f(t) d t$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
己知函数 $g(x)$ 连续，$f(x)=\int_0^{x^2} g(x t) d t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式，并判断 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性