单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
由方程 $x y-e^x+e^y=0$ 所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数 $y^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
若 $\frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
$\text{A.}$ $\frac{\sin x}{x}+c$
$\text{B.}$ $\frac{1+\sin x}{x^2}+c$
$\text{C.}$ $ {\operatorname { c o s }} {x}-\frac{\mathbf{2} {\operatorname { s i n }} {x}}{ {x}}+ {c}$
$\text{D.}$ $ {\operatorname { c o s }} {x}+\frac{\mathbf{2} {\operatorname { s i n }} {x}}{ {x}}+ {c}$
曲线 $y=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$
$\text{A.}$ 没有渐近线；
$\text{B.}$ 仅有水平渐近线；
$\text{C.}$ 仅有铅直渐近线；
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线．
设 $f(x)$ 满足 $f(x)+2 f\left(-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}$ ，则 $f(x)$ 的极大值和极小值分别为
$\text{A.}$ $-2,2$ ．
$\text{B.}$ $2,-2$ ．
$\text{C.}$ $1,-1$ ．
$\text{D.}$ 1,0 ．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^4}=1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{f(x)}=$
$\text{A.}$ $\infty$ ．
$\text{B.}$ 0.
$\text{C.}$ 6.
$\text{D.}$ -6 ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{x^2}^{x^3} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t=$
设 $f(x)=\arccos \left(\frac{\cos x-1}{x^2}\right)(x \neq 0)$ ，欲使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，需要定义 $\boldsymbol{f}(\mathbf{0})=$
已知 $f(x)=\frac{(x+1)^2(x-1)}{x^3(x-2)}$ ，则 $I=\int_{-1}^3 \frac{f^{\prime}(x)}{1+f^2(x)} \mathrm{d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{1+\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{1+\ln \left(1+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right)=$
设 $f(x)=(x-1)^n\left(x^2+5 x+3\right)^n \sin ^2 \frac{\pi}{2} x$ ，则 $f^{(n)}(1)=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2 x+e^{3 x}\right)^{\frac{1}{x}}$
求不定积分 ： $\int \frac{\sin x+8 \cos x}{2 \sin x+3 \cos x} d x$
已知连续函数 $f(x)$ 满足方程 $f(x)=\int_0^{3 x} f\left(\frac{t}{3}\right) d t+e^{2 x}$ ，求 $f(x)$
证明：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) d x$ ，则至少存在 $\xi \in(0,1)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
若 $f(x)$ 可微，且 $f(\sqrt{a})=2$ ，并存在正实数 $a$ ，满足 $f^{\prime}\left(\frac{a}{x}\right)=\frac{x}{f(x)}$ ，求 $f(x)$.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2} \mathrm{e}^{-n}$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2026}+1\right)}$ ；
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}}|f(x)| \mathrm{d} x
$$
设函数 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$ 恒有 $f(x+y)=\mathrm{e}^y f(x)+\mathrm{e}^x f(y)$ ，且 $f^{\prime}(0)=\mathrm{e}$ ，求 $f(x)$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导，$f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\xi f(\xi)-(1+\xi) f^{\prime}(\xi)=(\xi-1)^2$