单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
如果对微分方程 $y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任一解 $y(x)$, 反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) d x$ 均收敛, 那么 $a$ 的取值范围是( )
$\text{A.}$ $(-2,-1]$
$\text{B.}$ $(-\infty,-1]$
$\text{C.}$ $(-2,0)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 0)$
设 $y_1(x), y_2(x)$ 是某 2 阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使得 $2 \lambda y_1(x)+\mu y_2(x)$ 是该方程的解，$\lambda y_1(x)-2 \mu y_2(x)$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{5}, \mu=\frac{2}{5}$
$\text{B.}$ $\lambda=\frac{2}{5}, \mu=\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{1}{4}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{4}$
在下列微分方程中，以 $y=\left(c_1+x\right) \mathrm{e}^{-x}+c_2 \mathrm{e}^{2 x}$（ $c_1, c_2$ 是任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=5 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-5 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-3 \mathrm{e}^{-x}$ ．
已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime} -6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\sin 2 x$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} x^2 \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．
$\text{C.}$ $\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
$\text{D.}$ $\left(x^2 \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $a, b$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$ ．
$\text{B.}$ $a>0, b>0$ ．
$\text{C.}$ $a=0, b>0$ ．
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=\mathrm{e}^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $y^*=$
$\text{A.}$ $A \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
$\text{B.}$ $A x \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
$\text{C.}$ $A \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
$\text{D.}$ $A x \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
微分方程 $2(x y+x) y^{\prime}=y$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C e^{2 x}$
$\text{B.}$ $y^2=C e^{2 x}$
$\text{C.}$ $y^2 e^{2 y}=C x$
$\text{D.}$ $e^{2 y}=C x y$
设线性无关的函数 $y_1, y_2, y_3$ 是二阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$的解，$C_1, C_2$ 是任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解是 ．
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(1-C_1-C_2\right) y_3$ ；
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+y_3$ ；
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$ ；
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$ ．
填空题 （共 21 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x \frac{\left(1+t^2\right) \sin t^2}{1+\cos t^2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
微分方程 $x y^{\prime}-y+x^2 e ^x=0$ 满足条件 $y(1)=- e$ 的解为 $y=$
曲线 $L: y=(2 x+1) \int_0^x e ^{-t^2} d t$ 的斜渐近线为 $\qquad$ ．
设函数 $f_n(x)=c_n x^{2 n} \mathrm{e}^{-\pi x^2}$ ，且满足 $\int_0^{+\infty} f_n(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ，其中 $c_n$ 为仅与 $n$ 有关的数．若 $c_0=1$ ，则 $c_4=$
设 $p$ 为常数，若反带积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^p(x+1)} d x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=e^x$ 满足条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$ 的解为 $y=$
函数 $y=y(x)$ 由微分方程 $x^2 y^{\prime}+y+x^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}=0$ 及 $y(1)=0$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 斜渐近线方程为
已知反常积分 $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}} \mathrm{~d} x=1$ ，则 $a=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2-x}}=$
微分方程 $2 y y^{\prime}-y^2-2=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解 $y=$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $f(0)=2$ ，则 $f(1)=$
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^3$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解为 $y=$
微分方程 $x y^{\prime}+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足条件 $y(1)=\mathrm{e}^3$ 的解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime}+y \tan x=\cos x$ 的通解为 $y=$
过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 且满足关系式 $y^{\prime} \arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=1$ 的曲线方程为
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0$ 的通解为
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0$ 的通解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ ，满足条件 $y(1)=0$ 的解为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+\left(x^2-3\right) y^2=0$ 且 $y(1)=1$ ．
（1）求 $y=y(x)$ 的表达式；
（2）计算 $\int_0^3 y^2(x) \mathrm{d} x$ ．
求微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-\left(y^{\prime}\right)^2=0(x>2)$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=3}=\frac{1}{2},\left.y^{\prime}\right|_{x=3}=-9$ 的解．
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=-2 x$ 的通解为
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $y=$
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x+\cos x$ 的通解．
微分方程 $x y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0$ 的通解为
求微分方程 $y^{\prime \prime}\left(x+y^{\prime 2}\right)=y^{\prime}$ 满足初始条件 $y(1)=y^{\prime}(1)=1$ 的特解．
已知微分方程 $y^{\prime}+y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的连续函数．
（I）若 $f(x)=x$ ，求方程的通解；
（II）若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，证明：方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解．
设函数 $f(x)$ 连续，且满足 $\int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t+\mathrm{e}^{-x}-1$ ，求 $f(x)$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=8\left(1+e^{2 x}\right)$ 的通解．