判断题 （共 1 题 ）
若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶非零方阵，且 $A B=0$ ，则 $A$ 的秩必小于 $n$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，又 $\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}$ 不可逆，则 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=$ $\qquad$
设 $A=\left[\begin{array}{lll}8 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵，$|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*+3 \boldsymbol{A}^{-1}\right|=$
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $A =\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right], X A +2 B = A B +2 X$ ，求 $X ^{2020}$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 9 \\ 2 & 0 & 6 \\ -3 & 1 & -7\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为3阶非零矩阵，$\alpha_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}b \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 为 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$的解向量，且 $\boldsymbol{A x}=\alpha_3$ 有解．
（1）求常数 $a, b$ ．
（2）求 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解．
计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
4 & 3 & 3 & \cdots & 3 & 3 \\
3 & 5 & 3 & \cdots & 3 & 3 \\
3 & 3 & 6 & \cdots & 3 & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
3 & 3 & 3 & \cdots & n+2 & 3 \\
3 & 3 & 3 & \cdots & 3 & n+3
\end{array}\right|
$$
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{E}$ ，求 $\boldsymbol{X}$ ．
当 $a, b$ 满足什么条件时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3=0 \\ 2 x_1+3 x_2-x_3=b \\ -x_1-3 x_2+a x_3=-2\end{array}\right.$有唯一解；无解；有无穷多解？并在有无穷多解时，求该方程组的通解．