解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
给定两个正数 $a$ 和 $b$ ，且有 $0 < b < a$ ．令 $a_0=a, b_0=b$ ，并按照递推公式
$$
a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1} b_{n-1}}, n \in N _{+}
$$
定义数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ．证明这两个数列收敛于同一个极限．
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^n}{n!}=0,(a>0)$ ．
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性：
（1）$a_{n+1}=a_n\left(a_n^2+3 a\right) /\left(3 a_n^2+a\right)(a>0, a>0)$ 。
（2）$a_{n+1}=a \cdot \sin a_n(|a| \leqslant \pi / 2)$ 。
解答下列问题：
（1）求 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$ ．
（2）求 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{n!}}$ ．
（3）试证明 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列，其中 $a_n=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^n}\right)(n \in N )$ ．
判别下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性：
（1）$a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}$ 。
（2）$a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n(2 n+1)}}$ ．
（3）$a_n=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ．