解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（华东师范大学，2002年）计算 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
x & 4 & 4 & \cdots & 4 \\
1 & x & 2 & \cdots & 2 \\
1 & 2 & x & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 2 & 2 & \cdots & x
\end{array}\right| .
$$
（东南大学，2000 年）求 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
2 a & a^2 & & & \\
1 & 2 a & a^2 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & 1 & 2 a & a^2 \\
& & & 1 & 2 a
\end{array}\right|
$$
（华中师范大学，1994 年）计算 $n+1$ 阶行列式
$$
D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc}
a & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a x & a & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
a x^2 & a x & a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a x^{n-1} & a x^{n-2} & a x^{n-3} & \cdots & a & -1 \\
a x^n & a x^{n-1} & a x^{n-2} & \cdots & a x & a
\end{array}\right| .
$$
南京大学，2015 年）计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$ ，其中
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1+a_1^2 & a_1 a_2 & \cdots & a_1 a_n \\
a_2 a_1 & 1+a_2^2 & \cdots & a_2 a_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_n a_1 & a_n a_2 & \cdots & 1+a_n^2
\end{array}\right) .
$$
（中国科学技术大学，2011年；湖南师范大学，2011年）证明：$n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
\cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \cos \alpha & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \cos \alpha & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha
\end{array}\right|=\cos n \alpha .
$$