解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x^2}\right)$ ．
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x+\ln (1-x)-1}{x-\arctan x}$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos x}{\cos 2 x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试证明下列命题：
（1）若 $\left\{a_n\right\}$ 是有界数列，则存在正整数子列 $\left\{n_k\right\}$ ，使得下列极限存在：
$$
\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_k}=l_1, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_k-1}=l
$$
（2）若 $\left\{a_n\right\}$ 的任一子列 $\left\{a_{n_k}\right\}$ 均含有以 $a$ 为极限的收敛子列，则 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列。
（3）设 $\left\{a_n\right\}$ 是有界列。若其任一收敛子列都有相同的极限值 $a$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列，且极限为 $a$ ．