单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设对＂$\forall \varepsilon \in(0,1), \exists 一 个$ 正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right| < 2 \varepsilon$＂是 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要而非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件。
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则（）
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
设函数 $f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类问断点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类问断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类问断点
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x \mid} \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
极限 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x}$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不存在
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $f(x)$ 是 $x$ 的二次函数, 且 $f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2 x$, 求 $f(x)$ 的表达式.
若 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1-a x^2\right)^{\frac{1}{4}}-1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(-1)^n}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{3}{x}=$
设 $y=\frac{1}{1+2x}$ ，则 $y^{(6)}(x)=$
解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^3+4 x^2+2}{7 x^3+5 x^2-3}$ ．
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_1 x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_1 x+b_0}=$
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$ ；
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$;
已知 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
$y=e^x(\sin x+\cos x)$ ，求 $y^{\prime}$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ．
设 $y=\ln (\sec x+\tan x)$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定 $a, b$ 的值．
设 $f(x)=x(x-1)(x-2) \cdots(x-99)$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
已知极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 是否存在？若存在，为多少？
已知 $y=\sqrt[3]{\frac{x(x+1)(x+2)}{\left(x^2+1\right)\left(e^x+x\right)}}(x>0)$ ，求 $y^{\prime}$ ．
已知函数 $y=f(x)$ 是单调可导的函数，经过点 $(2,3)$ ，函数 $y=g(x)$ 是由 $y=f(x)$ 确定的反函数．若 $f^{\prime}(2)=4$ ，求 $g^{\prime}(3)$ ．
设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内只有可去间断点，定义 $g(x)=\lim _{y \rightarrow x} f(y), \forall x \in(a, b)$ ，证明 $g(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续
求导
(1) $y=(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}-1)$;
(2) $y=\frac{x}{2} \sqrt{x^2+4}-2 \ln \left(x+\sqrt{x^2+4}\right)$;
求导
(3) $y=\ln \left[\sin \left(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\right)\right]$;
(4) $y=\sin \left[\ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)\right]$.
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1}+a x^2+b x}{x^{2 n}+1}$ 是连续函数，求 $a, b$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3 x}, & x>0 \\ x+1, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，求 $f^{\prime \prime}(x)$ 。
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_1=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right), n=1,2, \ldots$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在．
用导数的定义证明：若 $f(x), g(x)$ 均可导，则 $[f(x) g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)$ ．
用极限定义证明： $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-1}=1$ 。