单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $x=1$ 是函数 $f(x)=\ln x-\frac{a}{x}+x$ 的极值点，则 $a=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2+x, & x>0 .\end{array}\right.$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^2+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^2+x\right), & x < 0, \\ -x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2-x, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-x, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
设函数 $f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是（ ）
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
已知 $x \in R$ ，则＂$x=0$＂是＂ $\sin 2 x=0$＂的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
函数 $f(x)=0.3^x-\sqrt{x}$ 的零点所在区间是（ ）
$\text{A.}$ $(0,0.3)$
$\text{B.}$ $(0.3,0.5)$
$\text{C.}$ $(0.5,1)$
$\text{D.}$ $(1,2)$
已知集合 $A=\{-3,-1,0,1,3\}, B=\left\{x \left\lvert\, y=\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right.\right\}$ ，则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{0,1,3\}$
$\text{B.}$ $\{-1,0,1,3\}$
$\text{C.}$ $\{1,3\}$
$\text{D.}$ $\{-3,-1\}$
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, S_{n}=2 a_{n+1}$ ，则 $a_{4}=$
$\text{A.}$ $\frac{27}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{9}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{27}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{8}$
在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$\angle B C A=90^{\circ}, M, N$ 分别是 $A_1 B_1, A_1 C_1$ 的中点，$B C=C A$ $=C C_1$ ，则 $B M$ 与 $A N$ 所成角的余弦值为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{30}}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x \ln (1+x)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}=$ $\qquad$ ．
设 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2+x-x^2}}$ ，则 $f(x)$ 的定义域为
已知平面向量 $\stackrel{1}{a}=(-2,4), \quad \vec{b}=(\lambda, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $\lambda=$ $\qquad$ ．
$\left(x+y^2-\frac{1}{y}\right)^9$ 的展开式中 $x^3 y^3$ 的系数为
3 人独立地去破译一密码，他们能单独译出的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ ，则该密码被译出的概率为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知圆 $M$ 的圆心在 $y$ 轴上，且与直线 $x-y+7=0$ 相切于点 $P(-2,5)$ ．
（1）求圆 $M$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 经过点 $Q(2 \sqrt{2}, 1)$ 且与圆 $M$ 相切，求直线 $l$ 的方程．
如图，已知四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是直角梯形，$A D / / B C, A D=4, \angle A B C=90^{\circ}, P A \perp$ 平面 $A B C D, P A=A B=B C=2$ ，
（1）求 $P B$ 与 $C D$ 所成的角
（2）平面 $P C D$ 与平面 $P B A$ 所成的锐二面角余弦值
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
验证极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$ 存在, 但不能用洛必达法则得出.
设 $a_1=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right), n=1,2, \ldots$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在．