填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $y=f\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right), f^{\prime}(x)=\arctan \left(1-x^2\right)$ ，则 $\left.d y\right|_{x=0}=$
已知点 $(3,4)$ 为曲线 $y=a^2-\sqrt[3]{x-b}$ 的拐点，求 $a, b$ ．
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$ \int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^2} d x$
$\int \frac{x^7}{x^4+2} d x$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=3, a_{n+1}=\frac{3 a_n}{a_n+2}$
（1）证明：数列 $\left\{1-\frac{1}{a_n}\right\}$ 为等比数列；
（2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（3）令 $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ ，证明：$b_n < b_{n+1} < 1$ ．
试求微分方程 $(2 y-3 x) d x+(2 x-5 y) d y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的特解．
求导 $\frac{d}{d x} \int_{x^2}^{x^3} \frac{1}{\sqrt{1+t^4}} d t$ ；
$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} d x$ ；
$\int_1^e \frac{d x}{x \sqrt{1-(\ln x)^2}}$ ．
设函数 $f(x)=x^2-a(x+a \ln x)(a \in R , a \neq 0), f^{\prime}(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $a>0$ ，且 $f(1)+f^{\prime}(1)=0$ ，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？
（3）利用（2）中的不等式证明：$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\ldots+\frac{n+1}{n^2}>\ln (n+1)\left(n \in N ^*\right)$ ．
解方程 $y^{\prime}=\frac{x}{\cos y}-\tan y$ ；
$(x+1) y^{\prime \prime}+y^{\prime}=\ln (x+1)$ ；
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin x+2 a e^x, x < 0 \\ 9 \arctan x+2 b(x-1)^3, x \geq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导，求常数 $a, b$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
已知 $2 x^2+y^2=1$ ，求 $x+2 y$ 最大值．
证明方程 $x^3+x=\frac{a^2}{2 \arctan a}$ 在区间（ $0, a$ ）,$a>0$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{\sin x}{x}}{(1+x)^{\sin x}-1}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]
$$