单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
若随机变量 $X \sim N(6,1)$ ，且 $P(5 < X \leq 7)=a, P(4 < X \leq 8)=b$ ，则 $P(4 < X \leq 7)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{b-a}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{b+a}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1-b}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1-a}{2}$
离散型随机变量 $X$ 的分布列如下：
若 $E(X)=2.7$ ，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $m+n=0.5$
$\text{B.}$ $E(3 X-1)=7.1$
$\text{C.}$ $D(X)=0.81$
$\text{D.}$ $P(X>2)=0.5$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
随着＂双十一购物节＂的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共 3 张，分别可以再店内无门槛优惠 10 元， 20 元和 30 元，每人每天可抽 1 张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取．若某天抽奖金额少于 20 元，则下一天可无放回地抽 2 张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取．
（1）求第二天获得优惠金额的数学期望；
（2）记＂第 $i$ 天抽取 1 张奖券＂的概率为 $P_i$ ，写出 $P_i$ 与 $P_{i+1}$ 的关系式并求出 $P_i$ ．
甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为 0.7 ，
（1）求甲同学到第三天才预约成功的概率；
（2）记 $X$ 为甲同学预约门票的天数，求 $X$ 的分布列和期望 $E(X)$ ．
第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10月 8 日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛。已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得 1 分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得 1分，且成为下一回合发球方。现甲，乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲，乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙得分的概率为 $\frac{2}{5}$ ；若乙发球，乙得分的概率为 $\frac{4}{5}$ ，甲得分的概率为 $\frac{1}{5}$ ．规定第 1 回合是甲先发球。
（1）求第 3 回合由甲发球的概率；
（2） ① 设第 i 回合是甲发球的概率为 $p_i$ ，证明：$\left\{p_i-\frac{1}{3}\right\}$ 是等比数列；
② 已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P\left(X_i=1\right)=1-P\left(X_i=0\right)=q_i, i =1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=$ $\sum_{i=1}^n q_i$ ．若第 1 回合是甲先发球，求甲，乙连续进行 $n$ 个回合比赛后，甲的总得分的期望．
甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 1 个黑球和 2 个白球。现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为 1 次球交换的操作，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_n$ ．
（1）求 $X_2$ 的概率分布列并求 $E\left(X_2\right)$ ；
（2）求证：$\left\{E\left(X_n\right)-\frac{3}{2}\right\}\left(n \geqslant 2\right.$ 且 $\left.n \in N^*\right)$ 为等比数列，并求出 $E\left(X_n\right)\left(n \geqslant 2\right.$ 且 $\left.n \in N^*\right)$ ．
甲，乙，丙 3 人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余 2 人之一，设 $P_n$ 表示经过 $n$ 次传递后球传到乙手中的概率。
（1）求 $P_1, P_2$ ；
（2）证明：$\left\{P_n-\frac{1}{3}\right\}$ 是等比数列，并求 $P_n$ ；
（3）已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P\left(X_i=1\right)=1-P\left(X_i=0\right)=q_i, i =1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次传球）中球传到乙手中的次数为 $Y$ ，求 $E(Y)$ ．
为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲，乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲，乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间 $[2,4]$ 的有 8 人．
（I）求直方图中 $a$ 的值及甲班学生平均每天学习时间在区间 $(10,12]$ 的人数；
（II）从甲，乙两个班平均每天学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试，设 4 人中甲班学生的人数为 $k$ ，求 $k$ 的分布列和数学期望．
新冠肺炎是2019年12月8日左右出现不明原因肺炎，在2020年2月11日确诊为新型冠状病毒肺炎．新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID－19）是由严重急性呼吸系统综合征冠状病毒2 （severeacuterespiratorysyndromecoronavirus 2, SARS－CoV－2）感染后引起的一种急性呼吸道传染病，现已将该病纳入《中华人民共和国传染病防治法》规定的乙类传染病，并采取甲类传染病的预防，控制措施． 2020 年 5 月 15 日，习近平总书记主持召开中共中央政治局会议，讨论国务院拟提请第十三届全国人民代表大会第三次会议审议的《政府工作报告》稿。会议指出，今年下一阶段，要毫不放松常态化疫情防控，着力做好经济社会发展各项工作．某企业积极响应政府号召，努力做好复工复产工作．准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 $f(x)$ 与产量 $x$ 的函数关系式为： $f(x)=\frac{x^3}{3}-3 x^2+20 x+10(x>0)$ ．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 $g(x)$ 与产量 $x$ 的函数关系式如下表所示：
设 $Q_1(x), ~ Q_2(x), ~ Q_3(x)$ 分别表示市场情形好，中，差时的利润，随机变量 $\xi$ 表示当产量为 $x$ 时恧市场前景无法确定的利润。
（1）分别求利润 $Q_1(x), ~ Q_2(x), ~ Q_3(x)$ 的函数关系式；
（2）当产量 $x$ 确定时，求期望 $E \xi$ ；
（3）试问产量 $x$ 取何值时，期望 $E \xi$ 取得最大值．