单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
设三棱柱的侧棱垂直于底面, 所有棱长都为 $a$, 顶点都在一个球面 上, 则该球的表面积为 （ ）
$\text{A.}$ $\pi a^{2}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{3} \pi a^{2}$
$\text{C.}$ $\frac{11}{3} \pi a^{2}$
$\text{D.}$ $5 \pi a^{2}$
设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi)+\cos (\omega x+\phi)\left(\omega>0,|\phi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的最 小正周期为 $\pi$, 且 $f(-x)=f(x)$, 则 （ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递减
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ 单调递减
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ 单调递增
已知三棱雉 S- $A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上, $\triangle A B C$ 是边长 为 1 的正三角形, $S C$ 为球 $O$ 的直径, 且 $S C=2$, 则此三棱雉的体积为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{12}$
甲、乙两个圆锥母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为$2\pi$， 侧面积分布是 $S_甲$和$S_乙$，提交分布为$V_甲$和$V_乙$，若 $\dfrac{S_甲}{S_乙}=2$， 则$\dfrac{V_甲}{V_乙}=$
$\text{A.}$ $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{10}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \sqrt{10}}{4}$
已知圆台上底面半径为 1 , 下底面半径为 3 , 球与圆台的两个底面利侧面均相切, 则该圆 台的侧面积'球的表面积之比为
$\text{A.}$ $\frac{13}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{13}{12}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
已知侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正四棱雉各顶点都在同一球面上. 若该球的表面积为 $36 \pi$, 则该正四 棱雉的体积为
$\text{A.}$ $\frac{16}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{8}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{32}{3}$
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 已知 $A A_1=7$, 点 $O$ 在棱 $A A_1$ 上, 且 $A O=4, P$ 为 正方体表面上的动点, 若 $P O=5$, 则点 $P$ 的轨迹长度为
$\text{A.}$ $\frac{15 \pi}{2}$
$\text{B.}$ $(4+3 \sqrt{2} \pi)$
$\text{C.}$ $\frac{17 \pi}{2}$
$\text{D.}$ $(4+3 \sqrt{3}) \pi$
长、宽、高分别为 $2, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ 的长方体的外接球的表面积为
$\text{A.}$ $4 \pi$
$\text{B.}$ $12 \pi$
$\text{C.}$ $24 \pi$
$\text{D.}$ $48 \pi$
某玻璃制品厂需要生产一种如图 1 所示的玻璃杯, 该玻璃杯造型可以近似看成是一个 圆柱挖去一个圆台得到, 其近似模型的直观图如图 2 所示 (图中数据单位为 $\mathrm{cm}$ ), 则该 坡璃杯近似模型的体积 (单位: $\mathrm{cm}^3$ ) 为
$\text{A.}$ $\frac{43 \pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{47 \pi}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{51 \pi}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{55 \pi}{6}$
设 $m, n$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 则下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha \perp \beta, m / / \alpha$, 则 $m \perp \beta$
$\text{B.}$ 若 $\alpha \perp \beta, m \subset \alpha$, 则 $m \perp \beta$
$\text{C.}$ 若 $m / / \alpha, n \perp \alpha$, 则 $m \perp n$
$\text{D.}$ 若 $m \perp n, m / / \alpha$, 则 $n \perp \alpha$
已知 $m, n$ 是异面直线, $m \subset \alpha, n \subset \beta$, 那么
$\text{A.}$ 当 $m \perp \beta$, 或 $n \perp \alpha$ 时, $\alpha \perp \beta$
$\text{B.}$ 当 $m / / \beta$, 且 $n / / \alpha$ 时, $\alpha / / \beta$
$\text{C.}$ 当 $\alpha \perp \beta$ 时, $m \perp \beta$, 或 $n \perp \alpha$
$\text{D.}$ 当 $\alpha, \beta$ 不平行时, $m$ 与 $\beta$ 不平行, 且 $n$ 与 $\alpha$ 不平行
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
下列物体中, 能够被整体放入棱长为 1 (单位: $\mathrm{m}$ ) 的正方体容器 (容器壁厚度忽略不计) 内的有
$\text{A.}$ 直径为 $0.99 \mathrm{~m}$ 的球体
$\text{B.}$ 所有棱长均为 $1.4 \mathrm{~m}$ 的四面体
$\text{C.}$ 底面直径为 $0.01 \mathrm{~m}$, 高为 $1.8 \mathrm{~m}$ 的圆柱体
$\text{D.}$ 底面直径为 $1.2 \mathrm{~m}$, 高为 $0.01 \mathrm{~m}$ 的圆柱体
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在同一球面上, 若 $A B=A C=A A_{1}=2$, $\angle B A C=120^{\circ}$, 则此球的表面积等于 （ ）
在三椶钪 $P-A B C$ 中,三条棱 $P A, P B, P C$ 两两韭直, 且 $P A=P B=P C=2$, 则平面 $A B C$ 截该三棱锥 的外接球所得截面因的面积为
已知正四棱椎 $P-A B C D$ 的底面边长为 3 , 高为 2 ,若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上, 则球心到四棱锥侧面的距离为
已知三棱锥 $P-A B C$ 的各顶点都在同一球面上, 且 $P C \perp$ 平面 $A B C$, 若该棱雉的体积为 2 , $A B=2, B C=\sqrt{3}, \angle A B C=30^{\circ}$, 则此球的表面积等于
已知圆台的上、下底面半径分别是 10 和 20 , 它的侧面积为 $900 \pi$, 则此圆台的母线 与下底面所成角的余弦值为
数学中有很多公式都是数学家欧拉 (Leonhard Euler) 发现的, 它们都叫欧拉公式, 分散在各个数学分支之中, 任意一个凸多面体的顶点数 $V$. 棱数 $E$. 面数 $F$ 之间, 都满足关系式 $V-E+F=2$, 这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”. 若一个凸二十面体的每个面均为三角形, 则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为