解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是正方形, $P D \perp$ 平面 $A B C D, P D=A$ $B=1, E$ 是 $P B$ 的中点.
(1) 求直线 $B D$ 与直线 $P C$ 所成角的余弦值;
(2) 求证: $P C \perp$ 平面 $A D E$;
(3) 求点 $B$ 到平面 $A D E$ 的距离.
如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为正方形, 侧棱 $P A \perp$ 底面 $A B C D$, 且 $P A=A B$, 点 $E, F$ 分别为 $P B, P D$ 的中点.
(I)证明: $P C \perp$ 平面 $A E F$;
(II)求平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.
如图, 在四棱雉 $E-A B C D$ 中, $E A \perp$ 平面 $A B C D$, 底面 $A B C D$ 为矩形, $A B=2, A D=1, E A=\sqrt{3}, F$ 为 $E C$中点, $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}$.
(1) 求证: $E C \perp$ 平面 $D F G$;
(2) 求二面角 $F-D G-C$ 的余弦值.
已知直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 侧面 $A A_1 B_1 B$ 为正方形, $A B=B C=2, E, F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_1$ 的中点, $D$ 为棱 $A_1 B_1$ 上的点, 设 $B_1 D=m, B F \perp A_1 B_1$.
(1) 证明: $B F \perp D E$;
(2) 当 $m$ 为何值时, 平面 $B B_1 C_1 C$ 与平面 $D E F$ 的夹角的余弦值最大.
如图, 在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A C=B B_1=2 B C=2, \angle C B B_1=2 \angle C A B=\frac{\pi}{3}$, 且平面 $A B C \perp$ 平面 $B_1 C_1 C B$.
(1) 证明: 平面 $A B C \perp$ 平面 $A C B_1$;
(2) 设点 $P$ 为直线 $B C$ 的中点, 求直线 $A_1 P$ 与平面 $A C B_1$ 所成角的正弦值.
如图, 多面体 $A B C D E F$ 是由一个正四棱椎 $A-B C D E$ 与一个三棱椎 $F-A D E$ 拼接而成, 正四棱椎 $A-B C D E$ 的所有棱长均为 $3 \sqrt{2}, A F / / C D$.
(1) 在棱 $D E$ 上找一点 $G$, 使得平面 $A B C \perp$ 平面 $A F G$, 并证明你的结论;
(2) 若 $A F=\sqrt{2}$, 求直线 $D F$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.
如图, 在四棱椎 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为正方形, $P A \perp$ 平面 $A B C D, P A=A B$, 点 $E, F$ 分别是棱 $P B, B C$ 的中点.
(I) 求直线 $A F$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值;
(II) 在截面 $A E F$ 内是否存在点 $G$. 使 $D G \perp$ 平面 $A E F$, 并说明理由.
如图 1, 已知正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱长为 $2, M$ 为 $B B^{\prime}$ 的中点, $N$为 $D C$ 的中点.
(1) 证明: $B N / /$ 平面 $D M C^{\prime}$;
(2) 求平面 $D M C^{\prime}$ 与平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 夹角的余弦值.
正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2, P$ 是线段 $A_1 B$ 上的动点.
(1) 求证: 平面 $B D D_1 B_1 \perp$ 平面 $A_1 B C_1$;
(2) $P B_1$ 与平面 $A_1 B C_1$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$, 求 $P B$ 的长.
如图: 四棱椎 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3}$
（1）若 $A D \perp P B$, 证明: $A D / /$ 平面 $P B C$ :
（2）若 $A D \perp D C$, 且二面角 $A-C P-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$, 求 $A D$
