单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是 $f(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{D.}$ 无法判断 $x_0$ 是否是 $f(x)$ 的极值点.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right) \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right), & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 不存在
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 连续
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不连续
设在极坐标系下, 区域的表示为 $D=\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, r \leqslant 1\}$, 记
$$
\begin{aligned}
& I_1=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1(\cos r+r \cos \theta+r \sin \theta) r \mathrm{~d} r, \\
& I_2=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1\left(\cos r^2-r \cos \theta+r \sin \theta\right) r \mathrm{~d} r, \\
& I_3=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1\left(\cos r^4-r \cos \theta-r \sin \theta\right) r \mathrm{~d} r,
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$.
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x-1 \\
1 & -1 & x+1 & -1 \\
1 & x-1 & 1 & -1 \\
x+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right|
$$
得值
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $x^4$
$\text{D.}$ $x^4-1$
设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩 $r ( A )=r < n$, 那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关.
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量都线性无关.
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组.
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 均为 $n$ 维向量, 下列结论不正确的是
$\text{A.}$ 若对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_8$, 都有 $k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_8 \alpha _8 \neq$ $0$, 则 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha$, 线性无关.
$\text{B.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _3$ 线性相关, 则对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$, 都有 $k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_s \alpha _s= 0$.
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha$, 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 $s$.
$\text{D.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha$, 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $a>1, I_1=\int_0^a e ^{-x^2} d x, I_2=\int_0^1 a e ^{-x^2} d x, I_3=\int_0^1 e ^{-(a x)^2} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_3>I_2$.
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
$\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{\int_1 \frac{x \ln t}{1+t} d t}{(x-1)^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ 1
已知 3 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似, 相似变换矩阵为 $P$, 且 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), P$ 按列分块为 $P=\left(p_1, p_2, p_3\right)$, 设 $Q=\left(2 p_3, p_1, p_1+p_2\right)$, 则 $Q^{-1} A Q=$.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$;
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
记曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t)\end{array},(a>0,0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴所围区域为 $D . D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_1$, 绕直线 $y=2 a$ 旋转一周所得旋转体体积为 $V_2$, 则 ( )
$\text{A.}$ $V_1 < V_2$.
$\text{B.}$ $V_1=V_2$.
$\text{C.}$ $V_1>V_2$.
$\text{D.}$ $V_1, V_2$ 的大小关系与 $a$ 有关.
下列反常积分收敛的是 ( ).
$\text{A.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin x d x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}}$
已知区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}, y=\sqrt{2 x}$ 与直线 $x=2$ 围成，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则对于二重积分 $\iint_D f(x, y) d x d y$ ，下列表达式错误的是（ ）。
$\text{A.}$ $\int_0^2 d x \int_{\sqrt{2 x-x^2}}^{\sqrt{2 x}} f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_{\frac{y^2}{2}}^{1-\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x+\int_0^1 d y \int_{1+\sqrt{1-y^2}}^2 f(x, y) d x+\int_1^2 d y \int_{\frac{y^2}{2}}^2 f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_{2 \cos \theta}^{\frac{2}{\cos \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{2 \cos \theta}^{\frac{2 \cos \theta}{\sin ^2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{2}{\cos \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{\frac{2}{\sin \theta}}^{\frac{2 \cos \theta}{2} \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r-\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
设 $y_1(x), y_2(x)$ 是一阶非齐次线性方程 $y^{\prime}(x)+p(x) y(x)=f(x)$ 的两个不相同的特解，则 $y^{\prime}(x)+p(x) y(x)=f(x)$ 的通解是
$\text{A.}$ $y_1(x)+y_2(x)$
$\text{B.}$ $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$
$\text{C.}$ $C\left(y_1(x)-y_2(x)\right)+y_1(x)$
$\text{D.}$ $y_1(x)-y_2(x)$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $f(x)$ 连续，且 $f(0)=2$ ，又函数
$$
F(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^2} \int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{cases}
$$
连续，则 $a=$
设 $y(x)=\int_x^{4 x} \sin \left((x-t)^2\right) \mathrm{d} t$ ，求 $y^{\prime}(x)$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^2-2 x=2 \mathrm{e}^y$ 所确定的隐函数, 则曲线 $y=y(x)$ 的拐点是
$\lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty, 2)}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x^2}{x+y}}=$
设 $z=\left(e^{x y}+x\right)^x,\left.\mathrm{~d} z\right|_{(1,0)}=$
设 $A B$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=2,|B|=3$, 则 $\left|2 A^* B^{-1}\right|=$
已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解, 则 $a=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) \mathrm{d} x=$
设 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leq 1\}$, 则 $\iint_D(x+|y|) d x d y=$
$\left|\begin{array}{cccc}
1 & b_1 & 0 & 0 \\
-1 & 1-b_1 & b_2 & 0 \\
0 & -1 & 1-b_2 & b_3 \\
0 & 0 & -1 & 1-b_3
\end{array}\right|=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $A-E$ 是 n 级正定矩阵, 证明:
(1) A 是正定矩阵;
(2) $|A+2 E|>3^n$
求极限$\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^2+y^2}\right)^{x^2} \sin (x y)$
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x y}{\sqrt[3]{x^3+y^3}}+\frac{x^5}{y-x}\right)$
求 $y d x=(1+x \ln y) x d y(y>0)$ 的通解．
设函数 $f(x)$ 连续，且对任意实数 $x, h$ 满足 $f(x+h)=\int_x^{x+h} t\left[f(t+h)+t^2\right] d t+f(x)$ $\lim _{x \rightarrow 0}[1+f(x)]^{\frac{1-}{x^4}}=a(a>0)$ ，求 $f(x)$ 的表达式及常数 $a$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-2 x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ．
（1）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
（2）设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $z_1^2+z_2^2$ ，求正交变换 $x=Q y$ ，使得二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形。
已知向量组（I）：
$$
\alpha _1=(2,1,-1)^{T}, \alpha _2=(1,-1,1)^{T}, \alpha _3=(4,5, c)^{T}
$$
向量组（II）：
$$
\beta _1=(a, b,-1)^{T}, \beta _2=(2,-1, a)^{T}
$$
（1）若向量组（I）与向量组（II）等价，求参数 $a, b, c$ ，并分别写出 $\beta _1, \beta _2$ 用 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示的表达式；
（2）求齐次方程组 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) x = 0$ 与 $\binom{ \beta _1^{ T }}{ \beta _2^{ T }} x = 0$ 的非零公共解．
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x, y)=x^2+y^2-f(x+y, x y)$ ．求 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}$ $+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，$f(1)=3$ ，又 $\forall x, y \in(0,+\infty)$ ，恒有
$$
\int_1^{x y} f(t) d t=y \int_1^x f(t) d t+x \int_1^y f(t) d t,
$$
求 $f(x)$ ．
利用条件极值的方法证明：对任意正数 $a, b, c$ ，有 $a b c^3 \leqslant \frac{27}{5^5}(a+b+c)^5$ ．