单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\int_0^x \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^{\sin x} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数
设 $P=P(x, y, z), Q=Q(x, y, z)$ 均为连续函数， $\Sigma$ 为曲面
$$
z=\sqrt{1-x^2-y^2}(x \leq 0, y \geq 0)
$$
的上侧，则 $\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=$
$\text{A.}$ $\iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z} P+\frac{y}{z} Q\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z} P+\frac{y}{z} Q\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$\text{C.}$ $\iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z} P-\frac{y}{z} Q\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$\text{D.}$ $\iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z} P-\frac{y}{z} Q\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有定义， 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=m$ 时， $f^{\prime}(0)=m$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(0)=m$ 时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=m$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=m$ 时， $f^{\prime}(0)=m$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime}(0)=m$ 时， $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=m$
函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3, \\ y=\mathrm{e}^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 2 e
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \mathrm{e}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \mathrm{e}$
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}\left(a_n \neq 0\right)$ ，若 $\left\{a_n\right\}$ 发散，则（ ）
$\text{A.}$ $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{B.}$ $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{C.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}+\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
$\text{D.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}-\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x y}, & x y \neq 0, \\ 0, & x y=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处（）
$\text{A.}$ $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 连续， $f(x, y)$ 可微
$\text{B.}$ $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 连续， $f(x, y)$ 不可微
$\text{C.}$ $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 不连续， $f(x, y)$ 可微
$\text{D.}$ $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 不连续， $f(x, y)$ 不可微
设 $f(x, y)$ 是连续函数，则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，给出以下三个命题:
(1) 若 $\int_0^{+\infty} f^2(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
(2) 若存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(3) 若 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在.其中真命题的个数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+n x^{2 n}}$ ，则 $f(x)(\quad)$
$\text{A.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都连续
$\text{B.}$ 在 $x=1$ 处连续， $x=-1$ 处不连续
$\text{C.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都不连续
$\text{D.}$ 在 $x=1$ 处不连续， $x=-1$ 处连续
设 $I=\int_a^{a+k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x, k$ 为整数，则 $I$ 的值（）
$\text{A.}$ 只与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 只与 $k$ 有关
$\text{C.}$ 与 $a, k$ 均有关
$\text{D.}$ 与 $a, k$ 均无关
设 $f(x, y)$ 是连续函数，则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$ ( )
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
填空题 （共 23 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
过点 $M(1,2,-1)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=-t+2 \\ y=3 t-4 \\ z=t-1\end{array}\right.$ 垂直的平面方程是
设 $a$ 为非零常数, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^{x}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leq 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f[f(x)]=$ （ ）
积分 $\int_{0}^{2} d x \int_{x}^{2} e^{-y^{2}} d y$ 的值等于
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^3 t \\ y=\sin ^3 t\end{array}\right.$ 对应于 $t=\frac{\pi}{6}$ 点处法线方程是
设 $y=e^{\tan \frac{1}{x}} \cdot \sin \frac{1}{x}$ ，则 $y^{\prime}=$
$\int_0^1 x \sqrt{1-x} \mathrm{~d} x=$
极限 $L=\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+3 \sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})=$
设函数 $f(x)$ 有连续的导函数， $f(0)=0$ 且 $f^{\prime}(0)=b$ ，若函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(x)+a \sin x}{x}, & x \neq 0 \\ A & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $A=$
曲线 $y=x^2$ 与直线 $y=x+2$ 所围成的平面图形的面积为
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$, 则 $a=$
已知 $f(u, v)$ 存在二阶连续的偏导数，且
$$
\mathrm{d} f(1,1)=3 \mathrm{~d} u+4 \mathrm{~d} v
$$
若 $y=f\left(\cos x, 1+x^2\right)$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
已知 $f(x)=1+x$ ，若
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x, x \in[0, \pi]
$$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 \sin a_{2 n-1}=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
曲线 $y^2=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程为
函数 $f(x, y)=2 x^3-9 x^2-6 y^4+12 x+24 y$ 的极值点是
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
已知函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^x+1\right) x^2$ ，则 $f^{(5)}(1)=$
某物体以速度 $v(t)=t+k \sin \pi t$ 做直线运动，若它从 $t=0$ 到 $t=3$ 的时间段内平均速度是 $\frac{5}{2}$ ，则 $k=$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x \frac{\left(1+t^2\right) \sin t^2}{1+\cos t^2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\int_2^{+\infty} \frac{5}{x^4+3 x^2-4} \mathrm{~d} x=$
函数 $f(x, y)=2 x^3-9 x^2-6 y^4+12 x+24 y$ 的极值点是
某产品的价格函数为 $p=\left\{\begin{array}{ll}25-0.25 Q, & Q \leq 20, \\ 35-0.75 Q, & Q>20\end{array}\right.$ ( $p$ 为单价，单位: 万元； $Q$ 为产量，单位：件），总成本函数为
$$
C=150+5 Q+0.25 Q^2 \text { (万元) }
$$
则经营该产品可获得的最大利润为 $\qquad$ (万元 ).
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知平面区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid \sqrt{1-y^2} \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 1\right\}
$$
计算 $I=\iint_D \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
已知函数 $f(x, y)=x^3+y^3-(x+y)^2+3$ ，设 $T$是曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面， $D$ 是 $T$ 与坐标平面所围成的有界区域在 $x O y$ 面上的投影。
(1) 求 $T$ 的方程;
(2) 求 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的最大值和最小值.
设 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$.
证明：(1) 当 $x \in(0,1)$ 时，有
$|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2} ;$
(2) $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.