单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
对于任意二事件 $A$ 和 $B$
$\text{A.}$ 若 $A B \neq \varnothing$ ，则 $A, B$ 一定独立
$\text{B.}$ 若 $A B \neq \varnothing$ ，则 $A, B$ 有可能独立
$\text{C.}$ 若 $A B=\varnothing$ ，则 $A, B$ 一定独立
$\text{D.}$ 若 $A B=\varnothing$ ，则 $A, B$ 一定不独立
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 都服从正态分布，且它们不相关，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 一定独立
$\text{B.}$ $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 服从二维正态分布
$\text{C.}$ $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 未必独立
$\text{D.}$ $\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$ 服从一维正态分布
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： $A_1=\{\{$ 掷第一次出现正面 $\} ， A_2=\{$ 掷第二次出现正面 $\} ， A_3=\{$ 正、反面各出现一次 $\} ， A_4=\{$ 正面出现两次 $\}$ ，则事件
$\text{A.}$ $A_1, A_2, A_3$ 相互独立
$\text{B.}$ $A_2, A_3, A_4$ 相互独立
$\text{C.}$ $A_1, A_2, A_3$ 两两独立
$\text{D.}$ $A_2, A_3, A_4$ 两两独立
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的相关系数为 $0.5 ， E X-E Y=Q$ $E X^2=E Y^2=2$ ，则 $E(X+Y)^2=$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相关系数为 0.9 ，若 $Z=X-0.4$ ，则 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数为
设总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，
$$
Y_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2
$$
依概率收敛于
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
对于任意二事件 $A$ 和 $B$ ，
$$
\begin{aligned}
& 0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1, \\
& \rho=\frac{P(A B)-P(A) P(B)}{\sqrt{P(A) P(B) P(\bar{A}) P(\bar{B})}} \\
&
\end{aligned}
$$
称作事件 $\boldsymbol{A}$ 和 $B$ 的相关系数.
(1) 证明事件 $\boldsymbol{A}$ 和 $B$ 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；
（2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明 $|\rho| \leq 1$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} & x \in[1,8] \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
$F(x)$ 是 $X$ 的分布函数. 求随机变量 $Y=F(X)$ 的分布函数.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 独立，其中 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
X \sim\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0.3 & 0.7
\end{array}\right) \text {. }
$$
而 $\boldsymbol{Y}$ 的概率密度为 $f(y)$ ，求随机变量 $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$ 的概率密度 $g(u)$