单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$ ，则
$\text{A.}$ $P(X+Y \leq 0)=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P(X+Y \leq 1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P(X-Y \leq 0)=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $P(X-Y \leq 1)=\frac{1}{2}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差存在且不等于 0 ，则 $D(X+Y)=D X+D Y$ 是 $X$ 和 $Y$
$\text{A.}$ 不相关的充分条件，但不是必要条件
$\text{B.}$ 独立的必要条件，但不是充分条件
$\text{C.}$ 不相关的充要条件
$\text{D.}$ 独立的充要条件
设 $X$ 服从指数分布，则 $Y=\min \{X, 2\}$ 的分布函数
$\text{A.}$ 是连续函数
$\text{B.}$ 至少有两个间断点
$\text{C.}$ 是阶梯函数
$\text{D.}$ 恰有一个间断点
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设两两相互独立的三事件 $A, B$ 和 $C$ 满足条件: $A B C=\varnothing$,
$P(A)=P(B)=P(C) < \frac{1}{2}, P(A \cup B \cup C)=\frac{9}{16}$
则 $P(A)=$
设 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的泊松(Poisson)分布，且已知 $E[(X-1)(X-2)]=1$, 则 $\lambda=$
在天平上重复称量一重为 $a$ 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 $N\left(a, 0.2^2\right)$ ，若以 $\overline{X_n}$ 表示 $n$ 次称量结果的算术平均值，则为使
$$
P\left\{\left|\overline{X_n}-a\right| < 0.1\right\} \geq 0.95 ，
$$
则 $n$ 的最小值应不小于自然数
设随机变量 $X_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n ; n \geq 2)$ 独立同分布，
$\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}_{i j}=\mathbf{2}$ ，则行列式 $\boldsymbol{Y}=\left|\begin{array}{llll}\boldsymbol{X}_{11} & \boldsymbol{X}_{12} & \cdots & \boldsymbol{X}_{1 n} \\ \boldsymbol{X}_{21} & \boldsymbol{X}_{22} & \cdots & \boldsymbol{X}_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \boldsymbol{X}_{n 1} & \boldsymbol{X}_{n 2} & \cdots & \boldsymbol{X}_{n n}\end{array}\right|$ 的数学期望 $\boldsymbol{E} \boldsymbol{Y}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，下表列出了二维随机变量 $(X, Y)$ 联合分布律及关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{6 x}{\theta^3}(\theta-x), & 0 < x < \theta \\
0, & \text { 其 他 }
\end{array}\right.
$$
$X_1, X_2, \cdots X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $\boldsymbol{\theta}$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形
$$
G=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}
$$
上服从均匀分布，试求边长为 $X$ 和 $Y$ 的矩形面积 $S$ 的概率密度 $f(s)$.
假设二维随机变量 $(X, Y)$ ，在矩形
$$
G=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}
$$
上服从均匀分布，记 $U=\left\{\begin{array}{ll}0 & X \leq Y \\ 1 & X>Y\end{array}, V=\left\{\begin{array}{ll}0 & X \leq 2 Y \\ 1 & X>2 Y\end{array}\right.\right.$.
(1) 求 $U$ 和 $V$ 的联合分布; (2) 求 $U$ 和 $V$ 的相关系数 $\rho$.
已知随机变量 $\boldsymbol{X}_1$ 和 $\boldsymbol{X}_2$ 的概率分布
$$
\begin{aligned}
& X_1 \sim\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1 \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}
\end{array}\right], X_2 \sim\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right] \\
& \text { 且 } P\left\{X_1 X_2=0\right\}=1 .
\end{aligned}
$$
(1) 求 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合分布;
(2) 问 $X_1$ 和 $X_2$ 是否独立? 为什么?
设 $X_1, X_2, \cdots X_9$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，
$$
\begin{aligned}
& Y_1=\frac{1}{6}\left(X_1+\cdots+X_6\right), Y_2=\frac{1}{3}\left(X_7+X_8+X_9\right) \\
& S^2=\frac{1}{2} \sum_{i=7}^9\left(X_i-Y_2\right)^2, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_1-Y_2\right)}{S}
\end{aligned}
$$
证明统计量 $Z$ 服从自由度为 2 的 $t$ 分布.