单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X_1, X_2$ 均服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，且相互独立．若 $k$ 为非负整数，则下列结论中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ $P\left\{X_1+X_2=2 k\right\}=\frac{ e ^{-2 \lambda}(2 \lambda)^k}{k!}$ ．
$\text{B.}$ $P\left\{X_1+X_2=k\right\}=\frac{ e ^{-2 \lambda}(2 \lambda)^k}{k!}$ ．
$\text{C.}$ $P\left\{X_1+X_2=2 k\right\}=\frac{ e ^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ ．
$\text{D.}$ $P\left\{X_1+X_2=k\right\}=\frac{ e ^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ ．
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\mu, \sigma>0), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本，则样本均值 $\bar{X}$ 与总体均值 $\mu$ 的误差不超过 $\frac{\mu \sigma}{\sqrt{n}}$ 的概率 $p(\quad)$
$\text{A.}$ 随着 $\mu$ 增加而增加．
$\text{B.}$ 随着 $\mu$ 增加而减少．
$\text{C.}$ 随着 $n$ 增加而增加．
$\text{D.}$ 随着 $n$ 增加而减少．
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x e ^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^2}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 为末知正参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本．若 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的矩估计量，则 $D(\hat{\theta})=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{n}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{2 n}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{3 n}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{4 n}$ ．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设连续型随机变量 $X$ 的取值范围为 $(0,+\infty), \theta$ 为连接点 $(0,0)$ 与点 $\left(X, \frac{1}{X}\right)$ 的线段和 $x$轴正半轴的夹角．若 $\theta$ 服从 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布，则当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$X$ 的概率密度 $f_X(x)=$
圆域 $x^2+(y-a)^2 \leqslant a^2(a>0)$ 上的点到原点距离平方的平均值为 $\qquad$ ．
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设区域 $D$ 由直线 $y=x, y=1$ 和 $x= e$ 围成，二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2}{x y}, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（I）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．
（II）设 $a \in[1,2)$ ，记 $p_1(a)=\int_{-\infty}^2 f_{X I Y}(x \mid a) d x, p_2(a)$ 为当 $Y \geqslant a$ 时，事件 $\{X \leqslant 2\}$ 发生的概率，请问 $p_1(a)$ 和 $p_2(a)$ 是否存在最大值？若均存在，则这两个最大值是否相等？