单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，记 $p=P\left\{X \leq \mu+\sigma^2\right\}$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{p}$ 随着 $\boldsymbol{\mu}$ 的增加而增加
$\text{B.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而增加
$\text{C.}$ $p$ 随着 $\boldsymbol{\mu}$ 的增加而减少
$\text{D.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而减少
随机试验 $\boldsymbol{E}$ 有三种两两不相容的结果 $A_1, A_2, A_3$ ，且三种结果发生的概率均为 $\frac{1}{3}$ ， 将试验 $E$ 独立重复 2 次， $X$ 表示 2次试验中结果 $A_1$ 发生的次数， $Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_2$ 发生的次数，则 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，样本均值 $\bar{x}=9.5$ ，参数 $\boldsymbol{\mu}$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8 ，则 $\boldsymbol{\mu}$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}
$$
上服从均匀分布，令 $U=\left\{\begin{array}{l}1, X \leq Y, \\ 0, X>Y .\end{array}\right.$
（1）写出 $(X, Y)$ 的概率密度；
（2）问 $U$ 与 $\boldsymbol{X}$ 是否相互独立？并说明理解；
(3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{3 x^2}{\theta^3}, 0 < x < \theta, \\
0, \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为末知参数， $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T=\max \left(X_1, X_2, X_3\right)$.
（1）求 $T$ 的概率密度；
(2) 确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计.