单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 为随机事件, 若 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$ ，则 $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ 的充分必要条件是
$\text{A.}$ $P(B \mid A)>P(B \mid \bar{A})$
$\text{B.}$ $P(B \mid A) < P(B \mid \bar{A})$
$\text{C.}$ $P(\bar{B} \mid A)>P(B \mid \bar{A})$
$\text{D.}$ $P(\bar{B} \mid A) < P(B \mid \bar{A})$
设 $X_1, X_2 \ldots \ldots X_n(n \geq 2)$ 来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则下列结论中不正确的是（
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{B.}$ $2\left(X_n-X_1\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $n(\bar{X}-\mu)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为
$$
F(x)=0.5 \Phi(x)+0.5 \Phi\left(\frac{x-4}{2}\right) ，
$$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}
$$
$\boldsymbol{Y}$ 的概率概率密度为
$$
f(y)=\left\{\begin{array}{l}
2 y, 0 < y < 1, \\
0, \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
(1)求 $P\{\boldsymbol{Y} \leq \boldsymbol{E} Y\}$ ；
(2)求 $Z=X+Y$ 的概率密度.
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $\boldsymbol{n}$ 次测量，该物体的质量 $\boldsymbol{\mu}$ 是已知的. 设 $\boldsymbol{n}$ 次测量结果 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，该工程师记录的是 $\boldsymbol{n}$ 次测量的绝对误差
$$
Z_i=\left|X_i-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n) .
$$
利用 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 估计 $\sigma$.
(1) 求 $Z_1$ 的概率密度；
(2) 利用一阶矩求 $\sigma$ 的矩估计量;
(3) 求 $\sigma$ 的最大似然估计量.