单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $C$ 相互独立， $B$ 与 $C$相互独立，则 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立的充要条件是
$\text{A.}$ ${A}$ 与 $B$ 相互独立
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 互不相容
$\text{C.}$ $A B$ 与 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ $A B$ 与 $C$ 互不相容
设 $X_1, X_2 \ldots \ldots X_n(n \geq 2)$ 来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则下列结论中不正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{B.}$ $2\left(X_n-X_1\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $n(\bar{X}-\mu)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $X$ 的概率分布为
$$
P\{X=-2\}=\frac{1}{2}, P\{X=1\}=a, P\{X=3\}=b ，
$$
若 $\boldsymbol{E X}=0$ ，则 $D \boldsymbol{X}=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2},
$$
$Y$ 的概率概率密度为 $f(y)=\left\{\begin{array}{l}2 y, 0 < y < 1, \\ 0, \text { 其他. }\end{array}\right.$
(1)求 $P\{\boldsymbol{Y} \leq \boldsymbol{E} \boldsymbol{Y}\}$ ；
(2)求 $Z=X+Y$ 的概率密度.
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $\boldsymbol{n}$ 次测量，该物体的质量 $\boldsymbol{\mu}$ 是已知的，设 $\boldsymbol{n}$ 次测量结果 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，该工程师记录的是 $\boldsymbol{n}$ 次测量的绝对误差
$$
Z_i=\left|X_i-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n)
$$
利用 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 估计 $\sigma$.
(1)求 $Z_i$ 的概率密度；
(2)利用一阶矩求 $\sigma$ 的矩估计量；
(III)求 $\sigma$ 的最大似然估计量.