单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且
$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0 , P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12}$
则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，其中
$$
P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}
$$
$\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 $\boldsymbol{P}\left(\sum_{i=1}^{100} X_i \leq 55\right)$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(0.2)$
$\text{D.}$ $\Phi(0.2)$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知随机变量 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布， $Y=\sin X$ ，则 $\operatorname{Cov}(X, Y)=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，其中 $X_1, X_2$ 均服从标准正态分布， $X_3$ 的概率分布为
$$
\begin{gathered}
P\left\{X_3=0\right\}=P\left\{X_3=1\right\}=\frac{1}{2} \\
Y=X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2
\end{gathered}
$$
(I) 求二维随机变量 $\left(X_1, Y\right)$ 的分布函数，结果用标准正态分布 $\Phi(x)$ 表示；
() 证明随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 服从标准正态分布.
设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)=\left\{\begin{array}{c}
1-e^{-(t / \theta)^m}, t \geq 0 \\
0, \quad \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且均大于零.
（I）求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$ ，其中 $s>0, t>0$ ；
(ㄷ) 任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2, \ldots, t_n$ ，若 $m$ 已知，求 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta}$.