单选题 （共 16 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 3 阶正交矩阵且 $A ^3= E$ ．已知 $\alpha , \beta$ 均为 3 维非零向量，且满足 $\alpha , A \alpha$ 线性无关， $\alpha$ ， $A \alpha , A ^2 \alpha$ 线性相关， $\beta ^{ T } \alpha = \beta ^{ T } A \alpha =0$ ．下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\alpha , A ^2 \alpha$ 线性无关．
$\text{B.}$ $\beta , A \beta$ 线性无关．
$\text{C.}$ $\alpha , A \alpha , \beta$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\beta , A \beta , A ^2 \beta$ 线性相关．
设 $A$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵，若 1 不是 $A$ 的特征值，且 $| A |=-1$ ，则下列命题中，正确的是（ ）
（1） 2 不是 $A + A ^{-1}$ 的特征值．
（2） 2 不是 $A + A ^*$ 的特征值．
（3）－ 1 不是 $A + A ^{ T }- A A ^{ T }$ 的特征值．
（4） 1 不是 $A - A ^*+ A A ^*$ 的特征值．
$\text{A.}$ （1）（2）．
$\text{B.}$ （3）（4）．
$\text{C.}$ （1）（4）．
$\text{D.}$ （2）（3）．
现有两个命题：（1） $A ^*$ 对称当且仅当 $A$ 对称；（2） $A ^*$ 正定当且仅当 $A$ 正定．下列说法中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ （1），（2）均正确．
$\text{B.}$ （1）正确，（2）错误．
$\text{C.}$ （1）错误，（2）正确．
$\text{D.}$ （1），（2）均错误．
已知 3 阶矩阵 $A , B$ 满足 $A B = O$ ，其中矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\ 3 & a & 0 \\ -4 & 0 & c\end{array}\right)$ ，实对称矩阵 $B$ 每行元素之和均为 3 ，则当 $x =(1,-1,2)^{ T }$ 时，二次型 $x ^{ T } B x =(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & b & a & 0 \\ 1 & c & 0 & a \\ 1 & 0 & c & b \\ 1 & a & b & c\end{array}\right|=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $(a+c-b)(b+c-a)(c-a-b)$
$\text{B.}$ $(a-c-b)(b+c-a)(c-a-b)$
$\text{C.}$ $(a+c-b)(b-c-a)(c-a-b)$
$\text{D.}$ $(a+c-b)(b+c-a)(a+b-c)$
已知 $m$ 阶非零矩阵 $A$ 满足 $A ^2= O$ ，当 $n \geqslant 2$ 时，有 $( E + A )^n( E -n A )=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $E$
$\text{B.}$ $2 E$
$\text{C.}$ $2 A$
$\text{D.}$ $A$
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\ b & -3\end{array}\right)$ ，下列说法
（1）若矩阵 $A , B$ 相似，则 $a=1, b=-5$ ；
（2）若矩阵 $A , B$ 合同，则 $a < -3, b=3$ ；
（3）若矩阵 $A , B$ 等价，则 $a \neq 1$ 且 $b \neq-5$ 。
正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
3 阶行列式 $D$ 的元素为 $a(a>0)$ 或 0 ，则该行列式的最大值为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} a^3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} a^3$
$\text{C.}$ $2 a^3$
$\text{D.}$ $a^3$
下列说法中：
（1）已知非零列向量 $\alpha$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解，其中 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则非齐次线性方程组 $A ^* x = \alpha$ 有解的充要条件是 $r( A )=n-1$ ；
（2）已知 $m \times n$ 矩阵 $A$ 行满秩， $B$ 为 $n \times(n-m)$ 矩阵，有 $A B = O , A \alpha = 0$ 成立，则存在唯一的列向量 $\gamma$ ，有 $B \gamma = \alpha$ 成立；
（3）已知齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 的基础解系分别为 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 与 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r r s}$ ，其中 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，两个方程组无非零公共解，则任一 $n$ 维列向量 $\eta$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ ， $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r-s}$ 唯一线性表示；
（4）若齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解，则存在 $n$ 阶矩阵 $C _1, C _2$ 使得 $A = C _1 B , B = C _2 A$ ．正确的个数为（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ ，其中 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$ ，则二次型的正惯性指数为（ $\quad$ 。
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
已知 3 阶矩阵 $A , B$ 满足 $A B + A - B = E$ ，其中 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & a\end{array}\right)$ ，且 $B \neq- E$ ，若齐次线性方程组 $( A + B ) x = 0$ 有唯一解，则常数 $a=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\frac{11}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ 2
下列说法错误的是（ ）．
$\text{A.}$ 已知线性无关的向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m$ 能由 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 线性表示，则存在某个向量 $\beta _i(1 \leqslant$ $i \leqslant n)$ ，使得 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _{n-1}, \beta _i$ 线性无关
$\text{B.}$ 已知向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m$ 的任意 $k$ 个向量均线性无关，且 $r\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m\right)=k$ ，若 $l_1 \alpha _1+$ $l_2 \alpha _2+\cdots+l_m \alpha _m= 0$ ，则 $l_i(1 \leqslant i \leqslant m)$ 全为零或者至少有 $k+1$ 个系数不为零
$\text{C.}$ 任一矩阵 $A$ 中，位于线性无关行向量组与线性无关列向量组交叉处的子式一定不为零
$\text{D.}$ 向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m$ 中存在 $k$ 个向量可表示任一 $\alpha _i(1 \leqslant i \leqslant m)$ ，且表示法唯一，则向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m$ 的秩为 $k$
已知 5 阶可逆矩阵 $A$ 满足 $A ^{ T }= A ^*$ ，则 $\left| A ^2+2 A -3 E \right|=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
下列说法
（1）已知 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足 $B C = O$ ，且 $r( A ) < r( C )$ ，则存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$ ，使得 $A \alpha =$ Bo；
（2）已知矩阵方程 $A X B = C$ 有解，其中 $A , B , C$ 分别为 $m \times n, l \times s, m \times s$ 矩阵， $X$ 为 $n \times l$ 矩阵，若 $r( A )=r( A \vdots C )=n, r( B )=r\binom{ B }{ C }=l$ ，则方程 $A X B = C$ 有唯一解；
（3）非齐次方程组 $\left(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array}\right)\binom{ x }{ y }=\binom{ 0 }{ \beta }$ 有解的充要条件是 $r( B )>0, r( A )=r( A \vdots \beta )$ ；
（4）非齐次方程组 $A x = \beta$ 有解的充要条件是向量 $\beta$ 与齐次方程组 $A ^{ T } x = 0$ 的所有解向量正交．正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若矩阵 $A , B$ 相似，则不一定存在矩阵 $P _1, P _2$ ，使得 $A = P _1 P _2, B = P _2 P _1$
$\text{B.}$ 若存在可逆矩阵 $P$ ，使得矩阵 $A , B$ 都可相似对角化，则 $A B = B A$ 不一定成立
$\text{C.}$ 若 $n$ 阶矩阵 $A , B$ 都满足矩阵方程 $X ^2=\lambda X (\lambda \neq 0)$ ，则矩阵 $A , B$ 相似的充要条件为 $r( A )=r( B )$
$\text{D.}$ 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则矩阵 $A ^{ T } A$ 的特征值均大于 0
已知 3 阶矩阵 $A = E -\frac{ \alpha \alpha ^{ T }}{4}+\frac{ \beta \beta ^{ T }}{ \beta ^{ T } \alpha }$ ，其中 $\alpha , \beta$ 均为 3 维列向量，有 $\| \alpha \|=2,\| \beta \|=1$ ， $\alpha ^{ T } \beta >0$ ，下列说法
（1）若 $\alpha - \beta$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，则 $\alpha ^{ T } \beta =2$ ；（2）若 $\alpha , \beta$ 成比例，则 $\alpha =2 \beta$ ；（3）矩阵 $A$ 正定．正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left|\begin{array}{ccc}b^2+c^2 & a^2+c^2 & a^2+b^2 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2\end{array}\right|=$
已知 3 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 1 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ 的特征值为 $\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, 12, M_{i j}$ 为矩阵 $A$ 的元素 $a_{i j}$ 对应的余子式，则 $M_{11} M_{33}-M_{13} M_{31}=$ $\qquad$ ．
已知非齐次线性方程组 $A x = b$ 的通解为 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$（ $k_1, k_2$ 为任意常数），其中
试题 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right)$ 为 4 阶方阵，则方程组 $\left( \alpha _4, 2 \alpha _1, 3 \alpha _2, 4 \alpha _3\right) x = b$ 的通解为
已知 $P _1=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right), P _2=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0\end{array}\right)$ 满足 $\left( P _1^{-1}\right)^5 A \left( P _2^{-1}\right)^2= B$ ，则 $A ^*=$
已知 3 阶实对称矩阵 $B$ 对应的二次型的正，负惯性指数相等，与矩阵 $B$ 相似的矩阵 $A$ 满足 $\left( A \alpha _1, A \alpha _2, A \alpha _3\right)=\left(a \alpha _1,(a-1) \alpha _3,(2+a) \alpha _2+3 \alpha _3\right)$ ，且对任一非零列向量 $\beta$ ，方程组 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) x = \beta$ 均有解，则 $| B + E |=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{9}\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}0 & \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{9}\end{array}\right)$ ，向量 $x =\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }$ ，试求一可逆线性
变换，将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } B x$ 均化为标准形．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ x_2 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ x_3 & a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$ ，其中实对称矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ ．
（1）求二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵；
（2）已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 经正交变换化为标准形 $y_1^2+4 y_2^2+y_3^2$ ，其中 $| A |>0$ ，矩阵 $A$ 各行元素之和为 $a(a < 1)$ ，矩阵 $B$ 满足 $\left[\left(\frac{1}{2} A \right)^*\right]^{-1} B A =6 A B +12 E$ ，求可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使得 $P ^{ T } B P = \Lambda$ ．
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & -3 & a\end{array}\right)$ 与矩阵 $B =\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ c & 3 & 0 \\ 2 & 0 & b\end{array}\right)$ 相似．
（1）求参数 $a, b$ ；
（2）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P ^{-1} A P = B$ ．
已知向量组（I）：
$$
\alpha _1=(2,1,-1)^{T}, \alpha _2=(1,-1,1)^{T}, \alpha _3=(4,5, c)^{T}
$$
向量组（II）：
$$
\beta _1=(a, b,-1)^{T}, \beta _2=(2,-1, a)^{T}
$$
（1）若向量组（I）与向量组（II）等价，求参数 $a, b, c$ ，并分别写出 $\beta _1, \beta _2$ 用 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示的表达式；
（2）求齐次方程组 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) x = 0$ 与 $\binom{ \beta _1^{ T }}{ \beta _2^{ T }} x = 0$ 的非零公共解．