单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 3 阶正交矩阵且 $A ^3= E$ ．已知 $\alpha , \beta$ 均为 3 维非零向量，且满足 $\alpha , A \alpha$ 线性无关， $\alpha$ ， $A \alpha , A ^2 \alpha$ 线性相关， $\beta ^{ T } \alpha = \beta ^{ T } A \alpha =0$ ．下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\alpha , A ^2 \alpha$ 线性无关．
$\text{B.}$ $\beta , A \beta$ 线性无关．
$\text{C.}$ $\alpha , A \alpha , \beta$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\beta , A \beta , A ^2 \beta$ 线性相关．
设 $A$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵，若 1 不是 $A$ 的特征值，且 $| A |=-1$ ，则下列命题中，正确的是（ ）
（1） 2 不是 $A + A ^{-1}$ 的特征值．
（2） 2 不是 $A + A ^*$ 的特征值．
（3）－ 1 不是 $A + A ^{ T }- A A ^{ T }$ 的特征值．
（4） 1 不是 $A - A ^*+ A A ^*$ 的特征值．
$\text{A.}$ （1）（2）．
$\text{B.}$ （3）（4）．
$\text{C.}$ （1）（4）．
$\text{D.}$ （2）（3）．
现有两个命题：（1） $A ^*$ 对称当且仅当 $A$ 对称；（2） $A ^*$ 正定当且仅当 $A$ 正定．下列说法中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ （1），（2）均正确．
$\text{B.}$ （1）正确，（2）错误．
$\text{C.}$ （1）错误，（2）正确．
$\text{D.}$ （1），（2）均错误．
已知 3 阶矩阵 $A , B$ 满足 $A B = O$ ，其中矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\ 3 & a & 0 \\ -4 & 0 & c\end{array}\right)$ ，实对称矩阵 $B$ 每行元素之和均为 3 ，则当 $x =(1,-1,2)^{ T }$ 时，二次型 $x ^{ T } B x =(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & b & a & 0 \\ 1 & c & 0 & a \\ 1 & 0 & c & b \\ 1 & a & b & c\end{array}\right|=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $(a+c-b)(b+c-a)(c-a-b)$
$\text{B.}$ $(a-c-b)(b+c-a)(c-a-b)$
$\text{C.}$ $(a+c-b)(b-c-a)(c-a-b)$
$\text{D.}$ $(a+c-b)(b+c-a)(a+b-c)$
已知 $m$ 阶非零矩阵 $A$ 满足 $A ^2= O$ ，当 $n \geqslant 2$ 时，有 $( E + A )^n( E -n A )=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $E$
$\text{B.}$ $2 E$
$\text{C.}$ $2 A$
$\text{D.}$ $A$