填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $y=\arcsin \frac{x-1}{5}+\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$ 的定义域是
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 5 & -3 & -2 \\ -2 & -3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \\ -1 & -6 & 4 & 3\end{array}\right|$.
求不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{4-x^4}} \mathrm{~d} x$;
求$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & -5 \\
4 & 7 & 1
\end{array}\right)$ 得秩。
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $y=f\left(\sin ^2 x\right)+f\left(\cos ^2 x\right)$, 则 $\frac{d y}{d x}=$
已知四阶行列式 $D$ 的第三行元素分别为: $-1,0,2,4$; 第四行元素对应的代数余子式依次是 $2,10, x, 4$, 则 $x=$
设 $f(x)=x \sin x$, 则 $f^{(6)}(0)=$
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin 2 x+e^{2 a x}-1}{x}, \quad x \neq 0 \\ a, \quad x=0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 则 $a=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^2\right)}{\sec x-\cos x}$;
$y=\cos x$ 在 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 的切线方程
计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{1+x+x^2+x^3}-x\right)$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x,\end{array}\right.$ 求 $\int_2^4 f(x-2) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$;
设 $\frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int a f(a x) d x=$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}10 & -5 & 1 \\ -8 & 4 & -1 \\ -7 & 4 & -1\end{array}\right)$, 则 $A^{-1}=$
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $A^T B=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x}{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}$.
求 $y=x^{\sin x}(x>0)$ 的导数 $y^{\prime}(x)$.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定, 求函数 $y=y(x)$ 在 $x=1, y=1$处的一阶导数值、二阶导数值。
计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2-1} \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} d x$
求不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{(2+\cos x) \sin x}$
求曲线 $y=\ln x(2 \leq x \leq 6)$ 的一切线，使得该切线与直线 $x=2 ， x=6$ 及曲线 $y=\ln x$ 围成 图形面积 $A$ 最小。
计算 $
D_4=\left|\begin{array}{rrrr}
2 & -5 & 1 & 2 \\
-3 & 7 & -1 & 4 \\
5 & -9 & 2 & 7 \\
4 & -6 & 1 & 2
\end{array}\right|
$
求线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}-x_1+x_2+2 x_3=1 \\ x_1-x_2+x_3=2 \\ 5 x_1-5 x_2-4 x_3=1\end{array}\right.$ 的通解
设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续, 且在 $(0, \pi)$ 内可导, 证明至少存在一点 $\xi \in(0, \pi)$, 使
$$
f(\xi) \cot \xi+f^{\prime}(\xi)=0 .
$$
对任意常数 $a$, 证明 $\int_0^a f(x) d x=\int_0^a f(a-x) d x$.