填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$f(x)=\left|\begin{array}{ll}e^x & 2^x \\ 1 & 2\end{array}\right|$, 则 $f^{\prime}(0)=$
已知 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & x \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|$ 是关于 $x$ 的一次多项式, 该式中 $x$ 的系数为
5 阶行列式中，项 $a_{24} a_{31} a_{52} a_{13} a_{45}$ 前面的符号为
已知 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & -1 & 7 \\ 4 & -3 & 5 & 9\end{array}\right|, A_{\imath j}(i, j=1,2,3,4)$ 为 $D$ 的代数余子式, 则 $3 A_{41}+4 A_{42}-A_{43}+7 A_{44}=$
$ \left|\begin{array}{ccccc}2 & 1 & & & \\ 1 & 2 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 2 & 1 \\ & & & 1 & 2\end{array}\right|_{n \times n}=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $D=\left|\begin{array}{llll}
3 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right|$
试计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3\end{array}\right|$.
计算$D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 4
\end{array}\right|$
计算 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2^2 & 3^2 & 4^2 \\
1 & 2^3 & 3^3 & 4^3 \\
9 & 8 & 7 & 6
\end{array}\right| .$
计算$D_5=\left|\begin{array}{ccccc}
4 & 3 & & & \\
1 & 4 & 3 & & \\
& 1 & 4 & 3 & \\
& & 1 & 4 & 3 \\
& & & 1 & 4
\end{array}\right| .$
计算行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
2^4+1 & 2^3 & 2^2 & 2 \\
3^4+1 & 3^3 & 3^2 & 3 \\
4^4+1 & 4^3 & 4^2 & 4 \\
5^4+1 & 5^3 & 5^2 & 5
\end{array}\right|
$$
计算 $D=\left|\begin{array}{cccc}
a & b & c & d \\
a & a+b & a+b+c & a+b+c+d \\
a & 2 a+b & 3 a+2 b+c & 4 a+3 b+2 c+d \\
a & 3 a+b & 6 a+3 b+c & 10 a+6 b+3 c+d
\end{array}\right| .$
$\left|\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & b \\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ b & 0 & 0 & a\end{array}\right|$
计算下列行列式的值.
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & 2+a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & 3+a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & a_3 & 4+a_4
\end{array}\right|
$$
计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\
b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a
\end{array}\right|$
证明：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\
b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\
c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\
d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2
\end{array}\right|=0 ;
$$
设 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ 是互不相同的 $n$ 个数. 计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x_1+1 & x_1{ }^2+1 & \cdots & x_1{ }^n+1 \\ x_2+1 & x_2{ }^2+1 & \cdots & x_2{ }^n+1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n+1 & x_n{ }^2+1 & \cdots & x_n{ }^n+1\end{array}\right|$.