填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int|x| d x=$ $\qquad$ （写成一个函数表达式）
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\sin ^3 x\right) \mathrm{d} x=$
已知 $f(x)$ 连续， $f(x)=x^2-\int_0^2 f(x) d x$ ，求 $f(x)$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
求定积分 $\int_0^2 \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} d x$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x d x, N=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) d x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) d x$,则 M、N、P 的大小关系为
曲线 $y=\ln \left(1-x^2\right) \quad 0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 的弧长为
当 $x \rightarrow 0$ 时求 $\frac{d}{d x} \int_{x^2}^{e^x} \ln t d t$ 值为
$\int_0^\pi \frac{1}{2+\tan ^2 x} d x=$
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)} d x=$
已知 $\frac{\cos x}{ x }$ 是 $f(x)$ 的一个原函数,则 $\int f(x) \cdot \frac{\cos x}{x} d x=$
设 $\int f^{\prime}(\sqrt{x}) d x=x\left(e^{\sqrt{x}}+1\right)+C$, 则 $f(x)=$
$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^2 \arcsin x+1}{\sqrt{1-x^2}} d x=$
已知可微函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内满足 $\int_1^x \frac{f(t)}{f^2(t)+t} d t=f(x)-1$, 则 $f(x)=$
设曲线 $y=\frac{x}{\sqrt{1+n x^2}}$ ( $n$ 为正整数) 与 $x=1$ 及 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周 所得体积为 $V_n$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n V_n=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求不定积分 $\int \frac{ d x}{\sqrt{x^2+a^2}}(a>0)$;
求 $\int \frac{1-x^7}{x\left(1+x^7\right)} d x$
计算不定积分 $\int x \sqrt[3]{1-3 x} d x$.
计算不定积分 $\int \frac{1}{\sin x \cos ^3 x} d x$.
计算由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 相应于 $0 \leq t \leq 2 \pi$ 的一拱与直线 $y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积
过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线, 该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D .
(1) 求 D 的面积 A ;
(2) 求 D 绕直线 $x = e$ 旋转一周所得旋转体的体积 V.
设函数 $f(x)$ 对于任意的 $x$ 及 $a$ 满足
$$
\frac{1}{2 a} \int_{x-a}^{x+a} f(t) d t=f(x) \quad(a \neq 0),
$$
证明: $f(x)$ 是线性函数.