单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 等于
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a)$.
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$.
$\text{C.}$ 0 .
$\text{D.}$ $f^{\prime}(2 a)$.
设 $f(x)=\cos x(x+|\sin x|)$, 则在 $x=0$ 处有 $($ ).
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=2$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ $f(x)$ 不可导.
下列命题中正确的是（）
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不可导, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续.
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续, 则 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 中至少有一个不存在.
$\text{C.}$ 若 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左可导并且右可导.
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某个邻域内有定义,则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的一个充分条件是（）
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ x^2 g(x), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在。
$\text{B.}$ 极限存在, 但不连续.
$\text{C.}$ 连续, 但不可导.
$\text{D.}$ 可导。
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求曲线 $y-x+e^y=0$ 在点 $x=1$ 处的切线方程
已知 $f(x)$ 可导， $y=f\left(e^{x^2}\right)$ ，求 $d y$
设 $y=(1+\sin x)^x$, 则 $\left.d y\right|_{x=\pi}=$
函数 $f(x)=x^2 \cdot 2^x$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)=$
$y=\tan f(x)+f(\tan x)$, 则 $y^{\prime}=$
设函数 $y=e^{\pi-3 x} \cos 3 x$ ，则 $\left. d y\right|_{x=\frac{\pi}{3}}=$
设常数 $a>0, a \neq 1$, 已知 $f(x)=a^{\ln x}+(\ln x)^a$, 求导数 $f^{\prime}(x)$ 。
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求导
(1) $y=\sqrt{a^2-x^2} $
(2) $y=(\arcsin x)^2$;
(3)$y=\ln \cos x$
设函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^2, & x \leqslant 1 \\ a x+b, & x>1\end{cases}
$$
为了使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导, $a, b$ 应取什么值?
设方程 $y=x \ln \left(x^2+y^2\right)$ 确定了一个二阶可导的隐函数 $y=y(x)$, 且 $y(1)=0$, 求 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{x=1}$.
求由方程 $y^2+2 \ln y=x^4$ 所确定的隐函数 $y$ 的导数$\frac{d y}{d x}$
求导 $y=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$
$y^x=x^y, x>0, y>0$, 求 $\frac{d y}{d x}$
$f(x)=x^2 \sin 2 x$ 求 $f^{(8)}(x)$
$\left\{\begin{array}{c}x=\ln \sqrt{1+t^2} \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定 $y(x)$ 求 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，求 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{x=0}$
设 $f(x)=e^x \cos x$, 求 $f^{(n)}(x)$ 。