填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $f(x)$ 是 $x$ 的二次函数, 且 $f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2 x$, 求 $f(x)$ 的表达式.
函数 $f(x)=\frac{\sqrt{1+2 x}-1}{x(x+1)(x-2)}$ 的无穷间断点为 ________ , $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=$
若函数 $y=\left\{\begin{array}{ll}(x+a)^2+b, & x < 0 \\ e^x, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 可导, 则 $a=$ $\qquad$ , $b=$
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 \sin \frac{1}{x}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{\frac{1}{x}}+1, \quad x < 0, \\ a, \quad x=0, \\ \frac{\sin (b x)}{x}, x>0\end{array}\right.$, 试确定 $a, b$ 之值, 使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
写出 $f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ 的所有间断点及其所属类型
已知 $x=0$ 是 $f(x)=\frac{x+b \ln (1+x)}{a x-\sin x}$ 的可去间断点，求 $a, b$ 的取值范围
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \ln \frac{\sin x}{x}$;
(3) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$;
(4) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^2 x\right)^{\cot ^2 x}$;
(6) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \sqrt{1+\sin ^2 x}-x}$;
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots+\frac{1}{(2 n)^2}\right]$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n[\ln (n+1)-\ln n]$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^3-3 x+2}{x^4-4 x+3}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x \cdot \sin ^2 x}$.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{x-1}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+3 x)^5-(1+2 x)^7}{(2 x-1)^2-1}$ 之值.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+2^n+3^n}$.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x \sin \frac{3}{x}+\frac{\sin 2 x}{x}\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x \cdot \arcsin \frac{1}{x}$
求函数$ f(x)= \dfrac {2x^{2}+x-1}{x^{2}-1}e^{ \dfrac {1}{x}}$ 的间断点，并进行分类.
确定 $a, b$ 之值, 使当 $x \rightarrow-\infty$ 时, $f(x)=\sqrt{x^2-4 x+5}-(ax+b)$为无穷小