空间2-数学组卷-自助组卷

科数题库试卷组卷竞赛教材学习 VIP

微信扫码登录或手机号登录考研数学版

导出试卷打印试卷试卷白板

空间2

数学

一、单选题（共 11 题），每题只有一个选项正确

1. 已知曲面

z = 4 - x^{2} - y^{2}

上点

P

处的切平面平行于平面

2 x + 2 y + z - 1 = 0

, 则点

P

的坐标是

A.

(1, - 1, 2)

.

B.

(- 1, 1, 2)

.

C.

(1, 1, 2)

.

D.

(- 1, - 1, 2)

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

2. 在曲线

x = t, y = - t^{2}, z = t^{3}

的所有切线中, 与平面

x + 2 y + z = 4

平行的切线

A.

只有 1 条.

B.

只有 2条.

C.

至少 3条.

D.

不存在.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

3. 双纽线

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = x^{2} - y^{2}

所围成的区域面积可用定积分表示为

A.

2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 θ d θ

B.

4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 θ d θ

C.

2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\cos 2 θ} d θ

D.

\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\cos 2 θ)^{2} d θ

点赞(0) 错题本(1) 加入试卷

4. 设有直线

L_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 8}{1}

与

L_{2} : {\begin{cases} x - y = 6 \\ 2 y + z = 3 \end{cases}

, 则

L_{1}

与

L_{2}

的夹角为 ( )

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{4}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{π}{2}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

5. 设有直线

L : {\begin{cases} x + 3 y + 2 z + 1 = 0 \\ 2 x - y - 10 z + 3 = 0 \end{cases}

及平面

π : 4 x - 2 y + z - 2 = 0

, 则直线

L ()

A.

平行于

π

.

B.

在

π

上.

C.

垂直于

π

.

D.

与

π

斜交.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

6. 设

A

为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

(x, y, z) A (\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}) = 1

在正交变换下的标准方程为双叶双曲面方程，则

A

的正特征值个数为

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

7. 曲面

x^{2} + \cos (x y) + y z + x = 0

在点

(0, 1, - 1)

处的切平面方程为

A.

x - y + z = - 2

B.

x + y + z = 0

C.

x - 2 y + z = - 3

D.

x - y - z = 0

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

8. 函数

f (x, y, z) = x^{2} y + z^{2}

在点

(1, 2, 0)

处沿向量

\vec{n} = (1, 2, 2)

的方向导数为

A.

12

B.

6

C.

4

D.

2

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

9. 过点

(1, 0, 0)

与

(0, 1, 0)

且与

z = x^{2} + y^{2}

相切的平面方程为

A.

z = 0

与

x + y - z = 1

B.

z = 0

与

2 x + 2 y - z = 2

C.

y = x

与

x + y - z = 1

D.

y = x

与

2 x + 2 y - z = 2

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

10. 函数

f (x, y)

在

(0, 0)

处可微，

f (0, 0) = 0, \vec{n} = {(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, - 1) |}_{(0, 0)}

非零向量

\vec{α}

与

\vec{n}

垂直，则

A.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| \vec{n} \cdot (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

存在

B.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| \vec{n} \times (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

存在

C.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| \vec{α} \cdot (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

存在

D.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| \vec{α} \times (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

存在

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

11. 设函数

f (x, y)

可微，满足

f (x^{2}, x + 1) = x^{2} (x - 1)

，且

f_{1}^{'} (1, 2) = 1

，则曲面

z = f (x, y)

在点

(1, 2, f (1, 2))

处的切平面方程为 ( )

A.

x - y - z + 1 = 0

.

B.

x - y + z + 1 = 0

.

C.

x - y - z - 3 = 0

.

D.

x - y + z - 3 = 0

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

二、填空题（共 15 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 与两直线

{\begin{cases} x = 1, \\ y = - 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}

及

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}

都平行, 且过原点的平面方程为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

13. 过点

M (1, 2, - 1)

且与直线

{\begin{cases} x = - t + 2 \\ y = 3 t - 4 \\ z = t - 1 \end{cases}

垂直的平面方程是

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

14. 已知两条直线的方程是

L_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 3}{- 1}, L_{2} : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}

, 则过

L_{1}

且平行于

L_{2}

的平面方程是

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

15. 曲面

z - e^{2} + 2 x y = 3

在点

(1, 2, 0)

处的切平面方程为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

16. 设

(a \times b) \cdot c = 2

, 则

[(a + b) \times (b + c)] \cdot (c + a) =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

17. 设一平面经过原点及点

(6, - 3, 2)

, 且与平面

4 x - y + 2 z = 8

垂直, 求此平面方程。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

18. 设

(x_{0}, y_{0})

是抛物线

y = a x^{2} + b x + c

上的一点，若在该点的切线过原点，则系数

a, b, c

应满足的关系是

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

19. 对数螺线

ρ = e^{θ}

在点

(ρ, θ) = (e^{\frac{π}{2}}, \frac{π}{2})

处的切线的直角坐标方程为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

20. 曲面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

在点

(1, - 2, 2)

处的法线方程为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

21. 设函数

u (x, y, z) = 1 + \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{z^{2}}{18}

，单位向量

\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1)

，则

{\frac{\partial u}{\partial n} |}_{(1, 2, 3)} =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

22. 点

(2, 1, 0)

到平面

3 x + 4 y + 5 z = 0

的距离

d =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

23. 曲线

{\begin{cases} x = \arctan t \\ y = \ln \sqrt{1 + t^{2}} \end{cases}

上对应于

t = 1

处的法线方程为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

24. 曲面

z = x^{2} (1 - \sin y) + y^{2} (1 - \sin x)

在点

(1, 0, 1)

处的切平面方程为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

25. 设

\vec{F} (x, y, z) = x y \vec{i} - y z \vec{j} + x z \vec{k}

，则

rot \vec{F} (1, 1, 0) =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

26. 曲面

z = x + 2 y + \ln (\overset{―}{1} + x^{2} + y^{2})

在点

(0, 0, 0)

处的切平面方程为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

27. 设

n

是曲面

2 x^{2} + 3 y^{2} + z^{2} = 6

在点

P (1, 1, 1)

处的指向外侧的法向量, 求函数

u = \frac{\sqrt{6 x^{2} + 8 y^{2}}}{z}

在点

P

处沿方向

n

的方向导数.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

28. 求椭球面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

上某点

M

处的切平面

π

的方程，使平面

π

过已知直线

L : \frac{x - 6}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{2 z - 1}{- 2} .

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

29. 求曲面

z = \frac{x^{2}}{2} + y^{2}

平行于平面

2 x + 2 y - z = 0

的切平面方程.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

30. 设直线

L : {\begin{cases} x + y + b = 0 \\ x + a y - z - 3 = 0 \end{cases}

在平面

π

上，而平面

π

与曲面

z = x^{2} + y^{2}

相切于点

(1, - 2, 5)

，求

a, b

之值.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

31. 求直线

L : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}

在平面

π : x - y + 2 z

- 1 = 0

上的投影直线

L_{0}

的方程，并求

L_{0}

绕

y

轴旋转一周所成的曲面方程

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

32. 已知曲线的极坐标方程是

r = 1 - \cos θ

，求该曲线上对应于

θ = \frac{π}{6}

处的切线与法线的直角坐标方程.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

33. 在

x O y

坐标平面上，连续曲线

L

过点

M (1, 0)

，其上任意点

P (x, y) (x \neq 0)

处的切线斜率与直线

O P

的斜率之差等于

a x

（常数

a > 0

).
(I) 求

L

的方程;
(ㅍ) 当

L

与直线

y = a x

所围成平面图形的面积为

8 / 3

时，确定

a

的值.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

他的试卷

微分偏导2 一元函数微分解答题一元函数微分填空题一元函数微分单选题1(19)

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与