一、单选题 （共 11 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知曲面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$.
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$.
$\text{C.}$ $(1,1,2)$.
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$.
在曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 的所有切线中, 与平面 $x+2 y+z=4$ 平行的切线
$\text{A.}$ 只有 1 条.
$\text{B.}$ 只有 2条.
$\text{C.}$ 至少 3条.
$\text{D.}$ 不存在.
双纽线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$ 所围成的区域面积可用定积分表示为
$\text{A.}$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$
$\text{B.}$ $4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$
$\text{C.}$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2 \theta} d \theta$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2 \theta)^{2} d \theta$
设有直线 $L_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1}$ 与 $L_{2}:\left\{\begin{array}{l}x-y=6 \\ 2 y+z=3\end{array}\right.$, 则 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的夹角为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\pi: 4 x-2 y+z-2=0$, 则直线 $L(\quad)$
$\text{A.}$ 平行于 $\pi$.
$\text{B.}$ 在 $\pi$ 上.
$\text{C.}$ 垂直于 $\pi$.
$\text{D.}$ 与 $\pi$ 斜交.
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
$$
(x, y, z) A\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=1
$$
在正交变换下的标准方程为双叶双曲面方程，则 $\boldsymbol{A}$ 的正特征值个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
曲面 $x^2+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为
$\text{A.}$ $x-y+z=-2$
$\text{B.}$ $x+y+z=0$
$\text{C.}$ $x-2 y+z=-3$
$\text{D.}$ $x-y-z=0$
函数 $f(x, y, z)=x^2 y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿向量 $\vec{n}=(1,2,2)$ 的方向导数为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
过点 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,0)$ 且与 $z=x^2+y^2$ 相切的平面方程为
$\text{A.}$ $z=0$ 与 $x+y-z=1$
$\text{B.}$ $z=0$ 与 $2 x+2 y-z=2$
$\text{C.}$ $y=x$ 与 $x+y-z=1$
$\text{D.}$ $y=x$ 与 $2 x+2 y-z=2$
函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，
$$
f(0,0)=0, \vec{n}=\left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}
$$
非零向量 $\vec{\alpha}$ 与 $\vec{n}$ 垂直，则
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{n} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{n} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{\alpha} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{\alpha} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
设函数 $f(x, y)$ 可微，满足 $f\left(x^2, x+1\right)=x^2(x-1)$ ，且 $f_1^{\prime}(1,2)=1$ ，则曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,2, f(1,2))$ 处的切平面方程为 ( )
$\text{A.}$ $x-y-z+1=0$.
$\text{B.}$ $x-y+z+1=0$.
$\text{C.}$ $x-y-z-3=0$.
$\text{D.}$ $x-y+z-3=0$.
二、填空题 （共 15 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
与两直线 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=-1+t \\ z=2+t\end{array}\right.$ 及 $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$ 都平行, 且过原点的平面方程为
过点 $M(1,2,-1)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=-t+2 \\ y=3 t-4 \\ z=t-1\end{array}\right.$ 垂直的平面方程是
已知两条直线的方程是 $L_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}, L_{2}: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$, 则过 $L_{1}$ 且平行于 $L_{2}$ 的 平面方程是
曲面 $z-\mathrm{e}^{2}+2 x y=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程为
设 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=2$, 则 $[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})=$
设一平面经过原点及点 $(6,-3,2)$, 且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直, 求此平面方程。
设 $\left(x_0, y_0\right)$ 是抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数 $a, b, c$ 应满足的关系是
对数螺线 $\rho=e^\theta$ 在点 $(\rho, \theta)=\left(e^{\frac{\pi}{2}}, \frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程为
曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 在点 $(1,-2,2)$ 处的法线方程为
设函数 $u(x, y, z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$ ，单位向量 $\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ，则 $\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{(1,2,3)}=$
点 $(2,1,0)$ 到平面 $3 x+4 y+5 z=0$ 的距离 $d=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 上对应于 $t=1$ 处的法线方程为
曲面 $z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)$ 在点 $(1,0,1)$ 处的切平面方程为
设 $\vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}-y z \vec{j}+x z \vec{k}$ ，则
$$
\operatorname{rot} \vec{F}(1,1,0)=
$$
曲面 $z=x+2 y+\ln \left(\overline{1}+x^2+y^2\right)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为
三、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\boldsymbol{n}$ 是曲面 $2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $P(1,1,1)$ 处的指向外侧的法向量, 求函数 $u=\frac{\sqrt{6 x^{2}+8 y^{2}}}{z}$ 在点 $P$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数.
求椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上某点 $M$ 处的切平面 $\pi$ 的方程，使平面 $\pi$ 过已知直线
$$
L: \frac{x-6}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{2 z-1}{-2} .
$$
求曲面 $z=\frac{x^2}{2}+y^2$ 平行于平面 $2 x+2 y-z=0$ 的切平面方程.
设直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+y+b=0 \\ x+a y-z-3=0\end{array}\right.$ 在平面 $\pi$ 上，而平面 $\pi$与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切于点 $(1,-2,5)$ ，求 $a, b$ 之值.
求直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi: x-y+2 z$ $-1=0$ 上的投影直线 $L_0$ 的方程，并求 $L_0$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面方程
已知曲线的极坐标方程是 $r=1-\cos \theta$ ，求该曲线上对应于 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处的切线与法线的直角坐标方程.
在 $x O y$ 坐标平面上，连续曲线 $L$ 过点 $M(1,0)$ ，其上任意点 $P(x, y)(x \neq 0)$ 处的切线斜率与直线 $O P$ 的斜率之差等于 $a x$ （常数 $a>0$ ).
(I) 求 $L$ 的方程;
(ㅍ) 当 $L$ 与直线 $y=a x$ 所围成平面图形的面积为 $8 / 3$ 时，确定 $a$ 的值.