微分-数学组卷-自助组卷

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微分

数学

一、单选题（共 25 题），每题只有一个选项正确

1. 设

y = f (x)

是方程

y^{''} - 2 y^{'} + 4 y = 0

的一个解, 且

f (x_{0}) > 0, f^{'} (x_{0}) = 0

, 则函数

f (x)

在点

x_{0}

处

A.

取得极大值.

B.

取得极小值.

C.

某邻域内单调增加.

D.

某邻域内单调减少.

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2. 设线性无关的函数

y_{1}, y_{2}, y_{3}

都是二阶非齐次线性方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)

的解,

C_{1}, C_{2}

是任意常数, 则该非齐次方程的通解是 ( )

A.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + y_{3}

.

B.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (C_{1} + C_{2}) y_{3}

.

C.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

.

D.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

.

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3. 若连续函数

f (x)

满足关系式

f (x) = \int_{0}^{2 x} f (\frac{t}{2}) d t + \ln 2

, 则

f (x)

等于

A.

e^{x} \ln 2

.

B.

e^{2 x} \ln 2

.

C.

e^{x} + \ln 2

.

D.

e^{2 x} + \ln 2

.

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4. 微分方程

y^{''} - y = e^{x} + 1

的一个特解应具有形式为 (以下

a, b

为常数)

A.

a e^{x} + b

B.

a x e^{x} + b

C.

a e^{x} + b x

D.

a x e^{x} + b x

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5. 设

y = f (x)

是满足微分方程

y^{''} + y^{'} - e^{\sin x} = 0

的解，且

f^{'} (x_{0}) = 0

，则

f (x)

在

A.

x_{0}

的某个邻域内单调增加

B.

x_{0}

某个邻域内单调减少

C.

x_{0}

处取得极小值

D.

x_{0}

处取得极大值

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6. 具有特解

y_{1} = e^{- x}, y_{2} = 2 x e^{- x}, y_{3} = 3 e^{x}

的 3 阶常系数齐次线性微分方程是

A.

y^{'''} - y^{''} - y^{'} + y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} - y^{'} - y = 0

C.

y^{'''} - 6 y^{''} + 11 y^{'} - 6 y = 0

D.

y^{''''} - 2 y^{''} - y^{'} + 2 y = 0

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7. 设

y = y (x)

是二阶常系数微分方程

y^{''} + p y^{'} + q y = e^{3 x}

满足初始条件

y (0) = y^{'} (0) = 0

的特解, 则当

x \to 0

时，函数

\frac{\ln (1 + x^{2})}{y (x)}

的极限

A.

不存在

B.

等于 1

C.

等于 2

D.

等于 3

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8. 已知

y = \frac{x}{\ln x}

是微分方程

y^{'} = \frac{y}{x} + φ (\frac{x}{y})

的解，则

φ (\frac{x}{y})

的表达式为

A.

- \frac{y^{2}}{x^{2}}

B.

\frac{y^{2}}{x^{2}}

C.

- \frac{x^{2}}{y^{2}}

D.

\frac{x^{2}}{y^{2}}

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9. 微分方程

y^{''} + y = x^{2} + 1 + \sin x

的特解形式可设为

A.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + x (A \sin x + B \cos x)

B.

y^{*} = x (a x^{2} + b x + c + A \sin x + B \cos x)

C.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + A \sin x

D.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + B \cos x

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10. 函数

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x} + x e^{x}

满足一个微分方程是

A.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}

B.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 e^{x}

C.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}

D.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 e^{x}

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11. 设非齐次线性微分方程

y^{'} + P (x) y = Q (x)

有两个不同的解

y_{1} (x), y_{2} (x), C

为任意常数，则该方程的通解是

A.

C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]

B.

y_{1} (x) + C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]

C.

C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]

D.

y_{1} (x) + C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]

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12. 在下列微分方程中，以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2 x + C_{3} \sin 2 x

(C_{1}, C_{2}, C_{3}

为任意的常数) 为通解的是

A.

y^{'''} + y^{''} - 4 y^{'} - 4 y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

C.

y^{'''} - y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

D.

y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0

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13. 在下列微分方程中，以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2 x + C_{3} \sin 2 x

(C_{1}, C_{2}, C_{3}

为任意的常数) 为通解的是

A.

y^{'''} + y^{''} - 4 y^{'} - 4 y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

C.

y^{'''} - y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

D.

y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0

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14. 设

y_{1}, y_{2}

是一阶线性非齐次微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个特解，若常数

λ, μ

使

λ y_{1} + μ y_{2}

是该方程的解，

λ y_{1} - μ y_{2}

是该方程对应的齐次方程的解，则

A.

λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}

B.

λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}

C.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}

D.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}

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15. 设

y_{1}, y_{2}

是一阶线性非齐次微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个特解，若常数

λ, μ

使

λ y_{1} + μ y_{2}

是该方程的解，

λ y_{1} - μ y_{2}

是该方程对应的齐次方程的解，则

A.

λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}

.

B.

λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}

.

C.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}

.

D.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}

.

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16. 微分方程

y^{''} - λ^{2} y = e^{λ x} + e^{- λ x} (λ > 0)

的特解形式为

A.

a (e^{λ x} + e^{- λ x})

B.

a x (e^{λ x} + e^{- λ x})

C.

x (a e^{λ x} + b e^{- λ x})

D.

x^{2} (a e^{λ x} + b e^{- λ x})

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17. 设

y = \frac{1}{2} e^{2 x} + (x - \frac{1}{3}) e^{x}

是二阶常系数非齐次线性微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = c e^{x}

的一个特解，则

A.

a = - 3, b = 2, c = - 1

B.

a = 3, b = 2, c = - 1

C.

a = - 3, b = 2, c = 1

D.

a = 3, b = 2, c = 1

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18. 若

y = {(1 + x^{2})}^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}, y = {(1 + x^{2})}^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}

是微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个解，则

q (x) =

A.

3 x (1 + x^{2})

B.

- 3 x (1 + x^{2})

C.

\frac{x}{1 + x^{2}}

D.

- \frac{x}{1 + x^{2}}

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19. 微分方程

y^{''} - 4 y^{'} + 8 y = e^{2 x} (1 + \cos 2 x)

的特解可设为

y^{*} = ()

A.

A e^{2 x} + e^{2 x} (B \cos 2 x + C \sin 2 x)

B.

A x e^{2 x} + e^{2 x} (B \cos 2 x + C \sin 2 x)

C.

A e^{2 x} + x e^{2 x} (B \cos 2 x + C \sin 2 x)

D.

A x e^{2 x} + x e^{2 x} (B \cos 2 x + C \sin 2 x)

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20. 已知微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = c e^{x}

的通解为

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- x} + e^{x}

，则

a, b, c

依次为

A.

1, 0, 1

B.

1, 0, 2

C.

2, 1, 3

D.

2, 1, 4

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21. 已知微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = c e^{x}

的通解为

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- x} + e^{x},

则

a, b, c

依次为

A.

1, 0, 1

B.

1, 0, 2

C.

2, 1, 3

D.

2, 1, 4

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22. 若微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上有界，则

(

)

A.

a < 0, b > 0

B.

a > 0, b > 0

C.

a = 0, b > 0

D.

a = 0, b < 0

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23. 若微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上有界，则

(

)

A.

a < 0, b > 0

B.

a > 0, b > 0

C.

a = 0, b > 0

D.

a = 0, b < 0

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24. 若微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上有界，则

(

)

A.

a < 0, b > 0

B.

a > 0, b > 0

C.

a = 0, b > 0

D.

a = 0, b < 0

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25. 设函数

y = f (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = 1 + t^{3}, \\ y = e^{t^{2}} \end{cases}

确定，则

lim_{x \to + \infty} x (f (2 + \frac{2}{x}) - f (2)) = ()

A.

2 e

B.

\frac{4}{3} e

C.

\frac{2}{3} e

D.

\frac{e}{3}

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二、填空题（共 15 题），请把答案直接填写在答题纸上

26. 设函数

y = y (x)

由方程

e^{x + y} + \cos (x y) = 0

确定, 则

\frac{d y}{d x} =

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27. 微分方程

y^{'} + y \tan x = \cos x

的通解为

y =

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28. 微分方程

y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = e^{x}

的通解为

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29. 微分方程

y d x + (x^{2} - 4 x) d y = 0

的通解为

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30. 微分方程

y^{''} + y = - 2 x

的通解为

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31. 微分方程

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0

的通解为

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32. 差分方程

y_{t + 1} - y_{t} = t 2^{t}

的通解为

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33. 差分方程

2 y_{t + 1} + 10 y_{t} - 5 t = 0

的通解是

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34. 微分方程

y^{''} - 4 y = e^{2 x}

的通解为

y =

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35. 微分方程

y^{''} - 4 y = e^{2 x}

的通解为

y =

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36. 微分方程

x y^{''} + 3 y^{'} = 0

的通解为

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37. 设

y = e^{x} (C_{1} \sin x + C_{2} \cos x) (C_{1}, C_{2}

为任意常数

)

为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为

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38. 设函数

f (x) ， g (x)

满足，

f^{'} (x) = g (x) ， g^{'} (x) = 2 e^{x} - f (x),

且

f (0) = 0 ， g (0) = 2

，求

I = \int_{0}^{π} [\frac{g (x)}{1 + x} - \frac{f (x)}{(1 + x)^{2}}] d x .

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39. 已知函数

y = y (x)

是由方程

e^{y} + 6 x y + x^{2} - 1 = 0

确定，则

y^{''} (0) =

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40. 微分方程

y y^{''} + y^{' 2} = 0

满足初始条件

{y |}_{x = 0} = 1

，

{y^{'} |}_{x = 0} = \frac{1}{2}

的特解是

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他的试卷

偏导2 一元函数微分解答题一元函数微分填空题一元函数微分单选题1(19) 中值定理与函数凸凹性解答题3(7)

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