一、解答题 ( 共 20 题,满分 80 分,解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )
仓库中有 10 箱同种规格的产品, 其中 2 箱、 3 箱、 5 箱分别由甲、乙、丙三个厂生产, 三个厂的正品率分别为 $0.7,0.8,0.9$, 现在从这 10 箱产品中任取一箱, 再从中任取一件
(1) 求取出的产品为正品的概率
(2) 如果取出的是正品, 求此件产品由乙厂生产的概率
某保险公司把被保险人分为 3 类: “谨傎的”、“一般的”、“冒失的”, 统计资料表明, 这 3种人在一年内发生事故的概率依次为 $0.05,0.15,0.30$; 如果 “谨慎的” 被保险人占 $20 \%$, “一般的占 $50 \%$, “冒失的” 占 $30 \%$, 问:
(1) 一个被保险人在一年内出事故的概率是多大?
(2) 若已知某被保险人出了事故, 求他是 “谨慎的” 类型的概率。
设随机变量 $X$ 的分布律如下: 求: (1) $X$ 的分布函数; (2) $ P\{1 \leq X < 3\} $
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}x & 0 \leq x < 1 \\ 2-x & 1 \leq x < 2 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases}$
求: (1) $X$ 的分布函数 $F(x)$
(2) 求 $P\left\{1 < X < \frac{3}{2}\right\}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2} & 0 < x < A \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 求:
(1) 常数 $A$
(2) 分布函数 $F(x)$
(3) $P\left\{-1 < X < \frac{1}{2}\right\}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_x(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 e^{-2 x} & x>0 \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 若 $Y=1-e^{-2 X}$, 求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 。
已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), Y=\mathrm{e}^X$.
(1) 求随机变量 $Y$ 的分布函数;
(2) 设 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 是总体 $Y$ 的简单随机样本, 若 $\sigma^2$ 已知, 求参数 $\mu$ 的矩估计量;
(3) 若 $\sigma^2$ 未知, 求参数 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 的最大似然估计量.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体的一个样本, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为一相应的样本值.求下列各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值.
(1) $f(x)= \begin{cases}\theta c^\theta x^{-(\theta+1)}, & x>c \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$其中 $c>0$ 为已知, $\theta>1, \theta$ 为末知参数.
(2) $f(x)= \begin{cases}\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1}, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$其中 $\theta>0, \theta$ 为未知参数.
(3) $P\{X=x\}=\left(\begin{array}{l}m \\ x\end{array}\right) p^x(1-p)^{m-x}, x=0,1,2, \cdots, m$,其中 $0 < p < 1, p$ 为未知参数.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体的一个样本, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为一相应的样本值.求下列各参数的最大似然估计和估计量.
(1) $f(x)= \begin{cases}\theta c^\theta x^{-(\theta+1)}, & x>c \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$其中 $c>0$ 为已知, $\theta>1, \theta$ 为末知参数.
(2) $f(x)= \begin{cases}\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1}, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$其中 $\theta>0, \theta$ 为未知参数.
(3) $P\{X=x\}=\left(\begin{array}{l}m \\ x\end{array}\right) p^x(1-p)^{m-x}, x=0,1,2, \cdots, m$,其中 $0 < p < 1, p$ 为未知参数.
(1)设总体X具有分布率
其中 $\theta(0 < \theta < 1)$ 为末知参数. 已知取得了样本值 $x_1=1, x_2=2, x_3=1$. 试求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值.
(2)设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自参数为 $\lambda$ 的泊松分布总体的一个样本, 试求 $\lambda$的最大似然估计量及矩估计量.
(3)设随机变量 $X$ 服从以 $r, p$ 为参数的负二项分布,其分布律为
$$
P\left\{X=x_k\right\}=\left(\begin{array}{c}
x_k-1 \\
r-1
\end{array}\right) p^r(1-p)^{x_k-r}, \quad x_k=r, r+1, \cdots,
$$
其中 $r$ 已知, $p$ 未知. 设有样本值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 试求 $p$ 的最大似然估计值.
设某种电子器件的寿命 (以 $\mathrm{h}$ 计) $T$ 服从双参数的指数分布, 其概率密度为
$$
f(t)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-(t-c) / \theta}, & t \geqslant c, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $c, \theta(c, \theta>0)$ 为未知参数. 自一批这种器件中随机地取 $n$ 件进行寿命试验.设它们的失效时间依次为 $x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n$.
(1) 求 $\theta$ 与 $c$ 的最大似然估计值.
(2) 求 $\theta$ 与 $c$ 的矩估计量.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布, 且
$$
X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0 .
\end{array} \text { 且 } Z=\frac{\min \{X, Y\}}{\max \{X, Y\} .}\right.
$$
(I) 求 $Z$ 的概率密度函数;
(II) 判断 $X$ 和 $Z$ 的独立性, 并说明理由.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\{(x, y)|| x+y|\leqslant 1| x-y \mid, \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布, 求:
$(I)(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$;
(II) $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$;
(III) $P\left\{\left.|Y| \leqslant \frac{1}{2}|| X \right\rvert\, \leqslant \frac{1}{2}\right\}$.
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布.
(I) 求 $Y=[X]+1$ 的概率分布, 并求 $E Y$;
(II) 求 $Z=X-[X]$ 的概率密度, 并求 $E Z$.
设总体 $(X, Y)$ 的分布函数为
$$
F(x, y)= \begin{cases}0, & x < 0 \text { 或 } y < \theta, \\ p\left[1-\mathrm{e}^{-(y-\theta)}\right], & 0 \leqslant x < 1, y \geqslant \theta, \\ 1-\mathrm{e}^{-(y-\theta)}, & x \geqslant 1, y \geqslant \theta .\end{cases}
$$
其中 $p, \theta$ 为末知参数, 且 $0 < p < 1$.
(I) 求 $X$ 的概率分布和 $Y$ 的概率密度, 并判别 $X$ 和 $Y$ 的独立性;
(II) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
假设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 已知 $E\left(X^k\right)=\alpha_k(k=1,2,3,4)$.证明: 当 $n$ 充分大时, 随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布, 并指出其分布参数.
已知总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}(1+\theta) x^\theta, & 0 < x < 1 , \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta>-1$ 是未知参数, 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{6 x}{\theta^3}(\theta-x), & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本. 求:
(1) $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) $\hat{\theta}$ 的方差 $D \hat{\theta}$.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{\alpha^2}, & 0 \leqslant x \leqslant \alpha, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\alpha>1$ 未知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}$;
(2) 求 $p$ 的最大似然估计量 $\hat{p}$.6.11 解 (1) $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}=\int_0^{\sqrt{\alpha}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\alpha}$.
(2) 当 $0 \leqslant x_1 \leqslant \alpha, 0 \leqslant x_2 \leqslant \alpha, \cdots, 0 \leqslant x_n \leqslant \alpha$ 时, 似然函数为
$$
L(\alpha)=f\left(x_1\right) f\left(x_2\right) \cdots f\left(x_n\right)=\frac{2^n}{\alpha^{2 n}} x_1 x_2 \cdots x_n,
$$
显然 $L(\alpha)$ 关于 $\alpha$ 单调减少, 且 $\alpha \geqslant \max \left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$, 则 $\alpha$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{\alpha}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\} \text {. }
$$
又由 (1) 知 $p=\frac{1}{\alpha}$ 关于 $\alpha$ 是单调函数, 根据最大似然估计的不变性, 有 $p$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{p}=\frac{1}{\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}} .
$$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本, 记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, T=\bar{X}^2-\frac{1}{n} S^2 .
$$
(1)证明: $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计量.
(2)求 $E T$.