一、填空题 （共 50 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$, 且 $P\{2 < X < 4\}=0.3$, 则 $P\{X < 0\}=$
设 $\mathrm{X}$ 与 $\mathrm{Y}$ 相互独立, 且 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})=\mathbf{2}, \boldsymbol{E}(\boldsymbol{Y})=\mathbf{3}, \boldsymbol{D}(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{D}(\boldsymbol{Y})=\mathbf{1}$, 则 $E\left[(X-Y)^2\right]=$
设 $\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \cdots, \boldsymbol{X}_n$ 是取自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, 则统计量 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(\boldsymbol{X}_i-\mu\right)^2$ 服从 （ ） 分布.
设 $X \sim B(2, p), Y \sim B(3, p)$, 且 $P\{X \geq 1\}=\frac{5}{9}$, 则 $P\{Y \geq 1\}=$
设事件 $A, B, C$ 两两独立, 并且 $P(A)=p, P(B)=2 p, P(C)=6 p$, 且 $P(A B C)=0$, 那么能够 满足上述情况的 $p$ 的最大值是
设 $A 、 B$ 是随机事件, $P(A)=0.7, P(A-B)=0.3$, 求 $P(\overline{A B})$.
设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2 x-1} \quad(-\infty < x < +\infty)$, 求 $E(X)$ 与 $D(X)$.
袋中有红球 4 只, 黑球 3 只, 从中任意取出 2 只, 求这 2 只球的颜色不相同的概率
设随机变量 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布, 求 $\frac{D(X)}{E\left(X^2\right)}$
设总体 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
(a+1) x^a & 0 < x < 1 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
其中 $a>-1$ 为末知参数, $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 是从总体 $X$ 中抽取的一个样本, 求 $a$ 的矩估计量.
已知 $P(\bar{B} \mid A)=\frac{1}{3}, P(B \mid \bar{A})=\frac{4}{7}, P(A B)=\frac{1}{5}$, 则 $P(\bar{A} \bar{B})=$
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim U(0,1), Y \sim E(\lambda)$ 指数分布, 且 $Y$ 的数学期望为 $\frac{1}{2}$, 则概率
$$
P\left\{\max \{X, Y\}>\frac{1}{2}\right\}=
$$
设事件 $A$ 和 $B$ 互不相容, 且 $p(A)=\frac{1}{5}, p(B)=\frac{1}{2}$. 则 $p(A+B)=$
某篮球队员的投篮命中率为 0.5 , 则该队员投 3 次全中的概率是
掷一枚均匀的骰子一次, 可得点数不是 6 的概率为
设随机变量 $X \sim B(2, p)$, 若 $p(X \geq 1)=\frac{5}{9}$, 则 $p=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布, 则 $P\{X \geq 0\}=$
甲, 乙, 丙三人同时射击某一目标, 设甲, 乙, 丙命中的概率分别是 $0.5,0.8,0.6$, 则目标被击中的概 率
设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布, $Y=3 X-2$, 则 $E(X Y)=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, 则样本均值 $\bar{X} \sim N$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 满足 $X+Y=0$. 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$
设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=k)=C \cdot \frac{\lambda^k}{k !}, \lambda>0, k=1,2, \mathrm{~L}$, 则常数 $C$ 为
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2,5)$, 随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N(1,4)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 则概率 $P(X \leqslant Y+4)=$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从均匀分布 $U(0, \theta)$, 则 $E[\min (X, Y)]=$
设总体 $X$ 服从期望为 2 的指数分布, $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则统计量 $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 的数学期望为
设 $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_n$ 为取自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个样本, 其中 $\mu \in R, \sigma>0$ 均末知, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$,
$S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 分别表示样本均值和样本方差, 则对于给定的常数 $\alpha(0 < \alpha < 1)$, 区间 $\left[\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha / 2}(n-1), \bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha / 2}(n-1)\right]$ 包含 $\mu$ 的概率是
在数字通讯中, 信号由 0 和 1 组成, 因为有随机干扰, 收到信号时, 0 被误收作 1 的概率为 0.2 , 而 1 被误收作 0 的概率为 0.1 , 假定发送信号 0 与 1 的几率均等.
1. 求发送的是信号 0 且收到的也是信号 0 的概率;
2. 求收到的是信号 0 的概率;
3. 已知收到的是信号 0 , 求发出的是信号 0 的概率.
设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 其概率密度为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \times 10} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{10}\right)},-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty,
$$
则概率 $P\{X < Y\}=$
设 $A 、 B$ 为随机事件, $P(A)=0.3, P(B)=0.4$, 若 $P(A \mid B)=0.5$, 则 $P(A \cup B)=$ ________
若 $A$ 与 $B$ 相互独立, 则 $P(A \cup B)=$ ________
设随机变量 $X$ 在区间 $[1,6]$ 上服从均匀分布，则 $P\{1 < X < 3\}=$
若离散型随机变量 $X$ 的分布律为
则常数 $a=$ ; 又 $Y=2 X+3$, 则 $P\{Y>5\}=$
设随机变量 $X$ 服从二项分布 $b(50,0.2)$, 则 $E(X)=$ , $D(X)=$
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,3)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 则 $D(3 X-2 Y)=$
设随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=\mu$, 方差 $D(X)=\sigma^2$, 则由切比雪夫不等式有 $P\{\mid X$ $-\mu \mid < 3 \sigma\} \geq$
从正态总体 $N\left(\mu, 0.1^2\right)$ 随机抽取的容量为 16 的简单随机样本, 测得样本均值 $\overline{\boldsymbol{x}}=\mathbf{5}$, 则末知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间是 (用抽样分布的上侧分位点表示).
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-(x-\theta)^2}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & x < \theta\end{array}(\theta>0\right.$ 为末知参数 $), X_1, X_2, \cdots$, $X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=$
设点 $P$ 的坐标 $(X, Y)$ 服从单位圆盘 $D: x^2+y^2 \leqslant 1$ 上的均匀分布, 以点 $P$ 为圆心, 作能够 包含于 $D$ 的最大圆, 记此圆的最高点的纵坐标为 $H$, 则 $H$ 的数学期望为
若事件 $A, B$ 相互独立， $P(A)=0.8, P(B)=0.6$. 求: $P(A+B)$ 和 $P\{\bar{A} \mid(A+B)\}$.
设随机变量 $X \sim N(2,4)$ ，且 $\Phi(1.65)=0.95$. 求 $P(X \geq 5.3)$.