概率论与数理统计填空题练习卷3-数学组卷-自助组卷

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概率论与数理统计填空题练习卷3

数学

一、填空题（共 40 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 已知

X \sim N (2, σ^{2})

, 且

P {2 < X < 4} = 0.3

, 则

P {X < 0} =

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2. 设

X

与

Y

相互独立, 且

E (X) = 2, E (Y) = 3, D (X) = D (Y) = 1

, 则

E [(X - Y)^{2}] =

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3. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是取自总体

N (μ, σ^{2})

的样本, 则统计量

\frac{1}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}

服从（　　）分布.

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4. 设

X \sim B (2, p), Y \sim B (3, p)

, 且

P {X \geq 1} = \frac{5}{9}

, 则

P {Y \geq 1} =

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5. 设事件

A, B, C

两两独立, 并且

P (A) = p, P (B) = 2 p, P (C) = 6 p

, 且

P (A B C) = 0

, 那么能够满足上述情况的

p

的最大值是

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6. 设

A 、 B

是随机事件,

P (A) = 0.7, P (A - B) = 0.3

, 求

P (\overset{―}{A B})

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7. 设连续型随机变量

X

的密度函数为

f (x) = \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- x^{2} + 2 x - 1} (- \infty < x < + \infty)

, 求

E (X)

与

D (X)

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8. 袋中有红球 4 只, 黑球 3 只, 从中任意取出 2 只, 求这 2 只球的颜色不相同的概率

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9. 设随机变量

X

服从区间

(0, 2)

上的均匀分布, 求

\frac{D (X)}{E (X^{2})}

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10. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{array}{cc} (a + 1) x^{a} & 0 < x < 1 \\ 0 & 其它 \end{array}

其中

a > - 1

为末知参数,

(X_{1}, \dots, X_{n})

是从总体

X

中抽取的一个样本, 求

a

的矩估计量.

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11. 已知

P (\bar{B} ∣ A) = \frac{1}{3}, P (B ∣ \bar{A}) = \frac{4}{7}, P (A B) = \frac{1}{5}

, 则

P (\bar{A} \bar{B}) =

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12. 设

X

与

Y

相互独立, 且

X \sim U (0, 1), Y \sim E (λ)

指数分布, 且

Y

的数学期望为

\frac{1}{2}

, 则概率

P {max {X, Y} > \frac{1}{2}} =

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13. 设事件

A

和

B

互不相容, 且

p (A) = \frac{1}{5}, p (B) = \frac{1}{2}

. 则

p (A + B) =

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14. 某篮球队员的投篮命中率为 0.5 , 则该队员投 3 次全中的概率是

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15. 掷一枚均匀的骰子一次, 可得点数不是 6 的概率为

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16. 设随机变量

X \sim B (2, p)

, 若

p (X \geq 1) = \frac{5}{9}

, 则

p =

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17. 设随机变量

X

服从参数为

λ (λ > 0)

的指数分布, 则

P {X \geq 0} =

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18. 甲, 乙, 丙三人同时射击某一目标, 设甲, 乙, 丙命中的概率分别是

0.5, 0.8, 0.6

, 则目标被击中的概率

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19. 设随机变量

X

服从参数为 2 的泊松分布,

Y = 3 X - 2

, 则

E (X Y) =

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20. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是取自总体

X \sim N (μ, σ^{2})

的样本, 则样本均值

\bar{X} \sim N

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21. 设随机变量

X

和

Y

满足

X + Y = 0

. 则

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X Y} =

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22. 设总体

X \sim N (μ, σ^{2}), X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本, 则

E [\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}] =

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23. 设离散型随机变量

X

的分布律为

P (X = k) = C \cdot \frac{λ^{k}}{k!}, λ > 0, k = 1, 2, L

, 则常数

C

为

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24. 设随机变量

X

服从正态分布

N (2, 5)

, 随机变量

Y

服从正态分布

N (1, 4)

, 且

X

与

Y

相互独立, 则概率

P (X ⩽ Y + 4) =

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25. 设随机变量

X

与

Y

相互独立且都服从均匀分布

U (0, θ)

, 则

E [min (X, Y)] =

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26. 设总体

X

服从期望为 2 的指数分布,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本,

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

, 则统计量

\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

的数学期望为

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27. 设

X_{1}, X_{2}, L, X_{n}

为取自总体

N (μ, σ^{2})

的一个样本, 其中

μ \in R, σ > 0

均末知,

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

分别表示样本均值和样本方差, 则对于给定的常数

α (0 < α < 1)

, 区间

[\bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{α / 2} (n - 1), \bar{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{α / 2} (n - 1)]

包含

μ

的概率是

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28. 在数字通讯中, 信号由 0 和 1 组成, 因为有随机干扰, 收到信号时, 0 被误收作 1 的概率为 0.2 , 而 1 被误收作 0 的概率为 0.1 , 假定发送信号 0 与 1 的几率均等.
1. 求发送的是信号 0 且收到的也是信号 0 的概率;
2. 求收到的是信号 0 的概率;
3. 已知收到的是信号 0 , 求发出的是信号 0 的概率.

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29. 设

(X, Y)

服从二维正态分布, 其概率密度为

f (x, y) = \frac{1}{2 π \times 10} \cdot e^{- \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{10})}, - \infty < x < + \infty, - \infty < y < + \infty,

则概率

P {X < Y} =

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30. 设

A 、 B

为随机事件,

P (A) = 0.3, P (B) = 0.4

, 若

P (A ∣ B) = 0.5

, 则

P (A \cup B) =

________
若

A

与

B

相互独立, 则

P (A \cup B) =

________

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31. 设随机变量

X

在区间

[1, 6]

上服从均匀分布，则

P {1 < X < 3} =

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32. 若离散型随机变量

X

的分布律为

则常数

a =

; 又

Y = 2 X + 3

, 则

P {Y > 5} =

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33. 设随机变量

X

服从二项分布

b (50, 0.2)

, 则

E (X) =

D (X) =

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34. 设随机变量

X \sim N (0, 1), Y \sim N (1, 3)

, 且

X

和

Y

相互独立, 则

D (3 X - 2 Y) =

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35. 设随机变量

X

的数学期望

E (X) = μ

, 方差

D (X) = σ^{2}

, 则由切比雪夫不等式有

P {∣ X

- μ ∣< 3 σ} \geq

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36. 从正态总体

N (μ, {0.1}^{2})

随机抽取的容量为 16 的简单随机样本, 测得样本均值

\overset{―}{x} = 5

, 则末知参数

μ

的置信度为 0.95 的置信区间是 (用抽样分布的上侧分位点表示).

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37. 设总体

X

的分布函数为

F (x) = {\begin{cases} 1 - e^{- (x - θ)^{2}}, & x ⩾ θ, \\ 0, & x < θ \end{cases} (θ > 0

为末知参数

), X_{1}, X_{2}, \dots

X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本,

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

, 则

θ

的矩估计量

\hat{θ} =

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38. 设点

P

的坐标

(X, Y)

服从单位圆盘

D : x^{2} + y^{2} ⩽ 1

上的均匀分布, 以点

P

为圆心, 作能够包含于

D

的最大圆, 记此圆的最高点的纵坐标为

H

, 则

H

的数学期望为

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39. 若事件

A, B

相互独立，

P (A) = 0.8, P (B) = 0.6

. 求:

P (A + B)

和

P {\bar{A} ∣ (A + B)}

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40. 设随机变量

X \sim N (2, 4)

，且

Φ (1.65) = 0.95

. 求

P (X \geq 5.3)

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