一、填空题 （共 40 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x < 2, \\ 1+\frac{a}{x^3}, & x \geqslant 2,\end{array}\right.$ 且 $Y=2 X+1$, 则 $D(Y)=$
在单位圆盘 $\left\{(x, y): x^2+y^2 \leq 1\right\}$ 上随机取两个点, 以随机变量 $X$ 表示它们之间的距离, 则 $\mathrm{E}\left(X^2\right)=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自标准正态总体的简单随机样本, 且 $1 \leq m < n$, 则当常数 $c=$时, 统计量 $c\left(\sum_{i=1}^m X_i\right)^2 / \sum_{i=m+1}^n X_i^2$ 服从 $F$ 分布.
对一正态总体 $N(\mu, 100)$ 的均值 $\mu$ 求置信水平为 $95 \%$ 的置信区间, 若要求其区间长度不大于 4 , 则样本容量 $n$ 至少应取
袋中有 4 个球, 其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球, 如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验, 否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止. 用 $X$ 表示抽取次数, 则数学期望 $E X=$
设 $X \sim E(\lambda), Y \sim E(\lambda)$ 且 $X, Y$ 相互独立, $Z=\min \{X, Y\}$, 则 $P\{Z>E(Z)\}=$
设连续函数 $f(x)$ 非负, 且 $f(x) \int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=2 x^2$, 则 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为
市场上某产品由甲、乙两厂生产. 已知甲厂和乙厂的产品指标服从分布函数 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$,且甲厂的产量是乙厂的 3 倍, 则从市场上任取一件产品, 其指标服从的分布函数为
设 $A, B, C$ 为随机事件, 且 $A$ 与 $B$ 互不相容, $A$ 与 $C$ 互不相容, $B$ 与 $C$ 相互独立, $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自期望为 $\theta$ 的指数分布的简单随机样本, $Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 是来自期望为 $2 \theta$ 的指数分布的简单随机样本, $X_1, X_2, \cdots, X_n, Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 相互独立, 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$, 并求 $D(\hat{\theta})$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自二项分布总体 $B\left(3, \frac{1}{3}\right)$ 的简单随机样本, 则 $P\left\{\min _{1 \leqslant i \leqslant n} X_i>1\right\}=$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}$ 相互独立, 且均服从二项分布 $B\left(1, \frac{1}{2}\right)$, 若根据中心极限定理, 有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{a \sum_{i=1}^n\left(X_{2 i}-X_{2 i-1}\right) \leqslant \sqrt{n} x\right\}=\Phi(x),
$$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则 $a=$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, 则 $A, B, C$ 至少发生两个可表示为
掷一颗骰子, $A$ 表示 “出现奇数点”, $B$ 表示 “点数不大于 3 ”, 则 $A-B$ 表示
已知互斥的两个事件 $A, B$ 满足 $P(A)=p, P(A \cup B)=r$, 则 $P(B)=$
设 $A, B$ 为两个随机事件, $P(A)=0.6, P(A-B)=0.2$, 则 $P(\overline{A B})=$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件,
$
P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A C)=\frac{1}{6}, P(A B)=0, P(B C)=0,
$
则 $A, B, C$ 至少发生一个的概率为
袋中有 4 个球,其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球,如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验,否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个照球为止. 用 $X$ 表示抽取次数, 则数学期望 $E X=$
记半圆盘 $x^2+y^2 \leqslant 4(y \geqslant 0)$ 中到 $x$ 轴的距离不超过 $\sqrt{2}$ 的点所构成的区域为 $D$. 向区域 $D$ 中随机投郑一点, 以该点为圆心, 该点到 $x$ 轴的距离为半径作圆 $C$. 记圆 $C$ 的面积为 $S$,则 $E(S)=$
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,4)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 又 $F \sim F\left(n_1, n_2\right)$, 记 $\mathrm{P}\left\{F>F_\alpha\left(n_1, n_2\right)\right\}=\alpha(0 < \alpha < 1)$, 若 $\mathrm{P}\left\{\frac{|X|}{|Y|} \leqslant b\right\}=0.9$, 则 $b=$ . (用分位点 $F_\alpha\left(n_1, n_2\right)$ 表示)
从数字 $1,2, \cdots, 10$ 中有放回地任取 4 个数字, 则数字 10 恰好出现两次的概率为
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布律为
则 $P\{Y=2\}=$
设随机变最 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布, 则 $E(2 X)=$
设随机变量 $X \sim N(1,4)$, 则 $D(X)=$
设 $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ 为来自总体 $X$ 的样本, 且 $X \sim N\left(1,2^2\right), \bar{x}$ 为样本均值,则 $D(\bar{x})=$
在单边假设检验中, 原假设为 $H_0: \mu \leq \mu_0$, 则其备择假设为 $H_1$ :
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma^2$ 未知, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为其样本. 若假设检验问题为 $H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$, 则采用的检验统计量表达现应为
设一元线性回归模型为 $y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i, i=1,2, \cdots, n$, 则 $E\left(\varepsilon_i\right)=$.
设 $A, B$ 为随机事汼, $P(A)=0.2, P(B \mid A)=0.4, P(A \mid B)=0.5$.
求: (1) $P(A B)$;
(2) $P(A \cup B)$.
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{lc}
x, & 0 \leq x < 1, \\
\frac{1}{2}, & 1 \leq x < 2, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
求 $X$ 的分布函数 $F(x)$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
c x, & 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
(1)求常数 $c$;
(2) 求 $(X, Y)$ 分别关于 $X, Y$ 的边缘摡率密度;
(3) 试问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立, 为什么?
设随机变量$X$的分布律为
记$ Y=X^2$,
求 (1)$ D(X), D(Y)$ (2)$\operatorname{Cov}(X, Y)$
某电子元件的使用寿命 $X$ (单位: 小时) 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 其概率密度为 $f(x ; \lambda)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & x \leq 0,\end{array}, \lambda>0\right.$. 现抽取 $n$ 个电子元件, 测得其平均使用寿命 $\bar{x}=1000$,求 $\lambda$ 的极大似然估计.
将编号为 $1,2,3$ 的三个球随机放入编号为 $1,2,3$ 的三个盒子中,每盒仅放一个球, 令
$$
X_i=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { 第 } i \text { 号球放第 } i \text { 号盒中, } \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}(i=1,2),\right.
$$
则 $\rho_{X_1 X_2}=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(-1,2 ; 2,2 ; \rho)$, 若 $X+Y$ 与 $X-2 Y$ 相互独立, 则 $\rho=$
设事件 $A 、 B$ 互不相容, 已知 $P(A)=0.4, P(B)=0.5$, 则 $P(\bar{A} \cdot \bar{B})=$ , 若 $A 、 B$ 独立, 则 $P(A \cup B)=$
设 $X \sim N(1,1)$, 且 $\Phi(1)=0.8413$, 则 $P\{0 < X < 2\}=$ 。
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律: 要使 $X 、 Y$ 相互独立, 则 $\alpha, \beta$ 的值为
加油站有两套用来加油的设备, 设备 $A$ 是工作人员操作的, 设备 $B$ 是顾客自己操作的, $A 、 B$ 均装有两根加油软管, 任取一时间, $A 、 B$ 正在使用的软管数分别为 $X 、 Y, X 、 Y$ 的联合分布律为下表，求:
(1) $P(X \leq 1, Y \leq 1)$
(2) 至少有一根软管在使用的概率
(3) $P(X=Y)$
(4) $P\{X+Y=2\}$
设 $A 、 B$ 为两个随机事件, $P\{A\}=0.25, P\{B \mid A\}=0.5, P\{A \mid B\}=0.25$, 令随机变量
$$
X=\left\{\begin{array}{rrr}
1 & A \text { 发生 } \\
0 & A \text { 不发生 }
\end{array} \quad Y=\left\{\begin{array}{rr}
1 & B \text { 发生 } \\
0 & B \text { 不发生 }
\end{array}\right.\right.
$$
(1) 求 $(X, Y)$ 的联合分布律
(2) 求 $P\left\{X^2+Y^2=1\right\}$