概率论与统计填空题练习2-数学组卷-自助组卷

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概率论与统计填空题练习2

数学

一、填空题（共 40 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x) = {\begin{cases} 0, & x < 2, \\ 1 + \frac{a}{x^{3}}, & x ⩾ 2, \end{cases}

且

Y = 2 X + 1

, 则

D (Y) =

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2. 在单位圆盘

{(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1}

上随机取两个点, 以随机变量

X

表示它们之间的距离, 则

E (X^{2}) =

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3. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自标准正态总体的简单随机样本, 且

1 \leq m < n

, 则当常数

c =

时, 统计量

c {(\sum_{i = 1}^{m} X_{i})}^{2} / \sum_{i = m + 1}^{n} X_{i}^{2}

服从

F

分布.

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4. 对一正态总体

N (μ, 100)

的均值

μ

求置信水平为

95 %

的置信区间, 若要求其区间长度不大于 4 , 则样本容量

n

至少应取

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5. 袋中有 4 个球, 其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球, 如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验, 否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止. 用

X

表示抽取次数, 则数学期望

E X =

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6. 设

X \sim E (λ), Y \sim E (λ)

且

X, Y

相互独立,

Z = min {X, Y}

, 则

P {Z > E (Z)} =

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7. 设连续函数

f (x)

非负, 且

f (x) \int_{0}^{1} f (t x) d t = 2 x^{2}

, 则

f (x)

在区间

[0, 2]

上的平均值为

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8. 市场上某产品由甲、乙两厂生产. 已知甲厂和乙厂的产品指标服从分布函数

F_{1} (x)

和

F_{2} (x)

,且甲厂的产量是乙厂的 3 倍, 则从市场上任取一件产品, 其指标服从的分布函数为

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9. 设

A, B, C

为随机事件, 且

A

与

B

互不相容,

A

与

C

互不相容,

B

与

C

相互独立,

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{3}

, 则

P (B \cup C ∣ A \cup B \cup C) =

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10. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自期望为

θ

的指数分布的简单随机样本,

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}

是来自期望为

2 θ

的指数分布的简单随机样本,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}

相互独立, 求

θ

的最大似然估计量

\hat{θ}

, 并求

D (\hat{θ})

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11. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n ⩾ 2)

为来自二项分布总体

B (3, \frac{1}{3})

的简单随机样本, 则

P {min_{1 ⩽ i ⩽ n} X_{i} > 1} =

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12. 设随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{2 n}

相互独立, 且均服从二项分布

B (1, \frac{1}{2})

, 若根据中心极限定理, 有

lim_{n \to \infty} P {a \sum_{i = 1}^{n} (X_{2 i} - X_{2 i - 1}) ⩽ \sqrt{n} x} = Φ (x),

其中

Φ (x)

为标准正态分布函数, 则

a =

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13. 设

A, B, C

是三个随机事件, 则

A, B, C

至少发生两个可表示为

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14. 掷一颗骰子,

A

表示 “出现奇数点”,

B

表示 “点数不大于 3 ”, 则

A - B

表示

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15. 已知互斥的两个事件

A, B

满足

P (A) = p, P (A \cup B) = r

, 则

P (B) =

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16. 设

A, B

为两个随机事件,

P (A) = 0.6, P (A - B) = 0.2

, 则

P (\overset{―}{A B}) =

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17. 设

A, B, C

是三个随机事件,

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}, P (A C) = \frac{1}{6}, P (A B) = 0, P (B C) = 0,

则

A, B, C

至少发生一个的概率为

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18. 袋中有 4 个球,其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球,如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验,否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个照球为止. 用

X

表示抽取次数, 则数学期望

E X =

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19. 记半圆盘

x^{2} + y^{2} ⩽ 4 (y ⩾ 0)

中到

x

轴的距离不超过

\sqrt{2}

的点所构成的区域为

D

. 向区域

D

中随机投郑一点, 以该点为圆心, 该点到

x

轴的距离为半径作圆

C

. 记圆

C

的面积为

S

,则

E (S) =

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20. 设随机变量

X \sim N (0, 1), Y \sim N (0, 4)

, 且

X

与

Y

相互独立, 又

F \sim F (n_{1}, n_{2})

, 记

P {F > F_{α} (n_{1}, n_{2})} = α (0 < α < 1)

, 若

P {\frac{| X |}{| Y |} ⩽ b} = 0.9

, 则

b =

. (用分位点

F_{α} (n_{1}, n_{2})

表示)

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21. 从数字

1, 2, \dots, 10

中有放回地任取 4 个数字, 则数字 10 恰好出现两次的概率为

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22. 设二维随机变量

(X, Y)

的分布律为

则

P {Y = 2} =

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23. 设随机变最

X

服从参数为 2 的泊松分布, 则

E (2 X) =

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24. 设随机变量

X \sim N (1, 4)

, 则

D (X) =

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25. 设

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}

为来自总体

X

的样本, 且

X \sim N (1, 2^{2}), \bar{x}

为样本均值,则

D (\bar{x}) =

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26. 在单边假设检验中, 原假设为

H_{0} : μ \leq μ_{0}

, 则其备择假设为

H_{1}

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27. 设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 其中

σ^{2}

未知,

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

为其样本. 若假设检验问题为

H_{0} : μ = μ_{0}, H_{1} : μ \neq μ_{0}

, 则采用的检验统计量表达现应为

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28. 设一元线性回归模型为

y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i} + ε_{i}, i = 1, 2, \dots, n

, 则

E (ε_{i}) =

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29. 设

A, B

为随机事汼,

P (A) = 0.2, P (B ∣ A) = 0.4, P (A ∣ B) = 0.5

.
求: (1)

P (A B)

;
(2)

P (A \cup B)

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30. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{lc} x, & 0 \leq x < 1, \\ \frac{1}{2}, & 1 \leq x < 2, \\ 0, & 其他, \end{array}

求

X

的分布函数

F (x)

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31. 设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {\begin{array}{cc} c x, & 0 < x < 1, 0 < y < 1, \\ 0, & 其他, \end{array}

(1)求常数

c

;
(2) 求

(X, Y)

分别关于

X, Y

的边缘摡率密度;
(3) 试问

X

与

Y

是否相互独立, 为什么?

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32. 设随机变量

X

的分布律为

记

Y = X^{2}

,
求 (1)

D (X), D (Y)

(2)

Cov (X, Y)

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33. 某电子元件的使用寿命

X

(单位: 小时) 服从参数为

λ

的指数分布, 其概率密度为

f (x; λ) = {\begin{cases} λ e^{- λ x}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0, \end{cases}, λ > 0

. 现抽取

n

个电子元件, 测得其平均使用寿命

\bar{x} = 1000

,求

λ

的极大似然估计.

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34. 将编号为

1, 2, 3

的三个球随机放入编号为

1, 2, 3

的三个盒子中,每盒仅放一个球, 令

X_{i} = {\begin{cases} 1, & 第 i 号球放第 i 号盒中, \\ 0, & 其他 \end{cases} (i = 1, 2),

则

ρ_{X_{1} X_{2}} =

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35. 设二维随机变量

(X, Y)

服从正态分布

N (- 1, 2; 2, 2; ρ)

, 若

X + Y

与

X - 2 Y

相互独立, 则

ρ =

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36. 设事件

A 、 B

互不相容, 已知

P (A) = 0.4, P (B) = 0.5

, 则

P (\bar{A} \cdot \bar{B}) =

, 若

A 、 B

独立, 则

P (A \cup B) =

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37. 设

X \sim N (1, 1)

, 且

Φ (1) = 0.8413

, 则

P {0 < X < 2} =

。

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38. 已知二维随机变量

(X, Y)

的联合分布律: 要使

X 、 Y

相互独立, 则

α, β

的值为

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39. 加油站有两套用来加油的设备, 设备

A

是工作人员操作的, 设备

B

是顾客自己操作的,

A 、 B

均装有两根加油软管, 任取一时间,

A 、 B

正在使用的软管数分别为

X 、 Y, X 、 Y

的联合分布律为下表，求:
(1)

P (X \leq 1, Y \leq 1)

(2) 至少有一根软管在使用的概率
(3)

P (X = Y)

(4)

P {X + Y = 2}

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40. 设

A 、 B

为两个随机事件,

P {A} = 0.25, P {B ∣ A} = 0.5, P {A ∣ B} = 0.25

, 令随机变量

X = {\begin{array}{rrr} 1 & A 发生 \\ 0 & A 不发生 \end{array} Y = {\begin{array}{rr} 1 & B 发生 \\ 0 & B 不发生 \end{array}

(1) 求

(X, Y)

的联合分布律
(2) 求

P {X^{2} + Y^{2} = 1}

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他的试卷

概率论与数理统计填空题练习1 概率论与数理统计选择题概率论与统计

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