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概率论与统计

数学

一、单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
1. 一) 在假设检验中, 显著性水平 α 的意义是
A. 原假设 H0 成立, 经检验被拒绝的概率 B. 原假设 H0 成立, 经检验被接受的概率 C. 原假设 H0 不成立, 经检验被拒绝的概率 D. 原假设 H0 不成立, 经检验被接受的概率

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二、填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
2. 设 A,B,C 为三个事件, 用 A,B,C 的运算关系表示下列各事件:
(1) A 发生, B 与 C 不发生.
(2) A 与 B 都发生,而 C 不发生.
(3) A,B,C 中至少有一个发生.
(4) A,B,C 都发生.
(5) A,B,C 都不发生.
(6) A,B,C 中不多于一个发生.
(7) A,B,C 中不多于两个发生.
(8) A,B,C 中至少有两个发生.

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三、解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
3. 已知总体 X 的概率密度为
f(x)={(1+θ)xθ,0<x<1，0, 其他, 

其中 θ>−1 是未知参数, 设 X1,X2,⋯,Xn 为来自总体 X 的简单随机样本, 求 θ 的矩估计量和最大似然估计量.

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4. 设总体 X 的概率密度为
f(x)={6xθ3(θ−x),0<x<θ,0, 其他, 
X1,X2,⋯,Xn 是取自总体 X 的简单随机样本. 求:
(1) θ 的矩估计量 θ^;
(2) θ^ 的方差 Dθ^.

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5. 设总体 X 的概率密度为 f(x)={2xα2,0⩽x⩽α,0, 其他,  其中 α>1 未知, X1,X2,⋯,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本.
(1) 求 p=P{0<X<α};
(2) 求 p 的最大似然估计量 p^.6.11 解 (1) p=P{0<X<α}=∫0αf(x)dx=1α.
(2) 当 0⩽x1⩽α,0⩽x2⩽α,⋯,0⩽xn⩽α 时, 似然函数为
L(α)=f(x1)f(x2)⋯f(xn)=2nα2nx1x2⋯xn,

显然 L(α) 关于 α 单调减少, 且 α⩾max{x1,x2,⋯,xn}, 则 α 的最大似然估计量为
α^=max{X1,X2,⋯,Xn}. 

又由 (1) 知 p=1α 关于 α 是单调函数, 根据最大似然估计的不变性, 有 p 的最大似然估计量为
p^=1max{X1,X2,⋯,Xn}.

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