一) 在假设检验中, 显著性水平 $\alpha$ 的意义是

设 $A, B, C$ 为三个事件, 用 $A, B, C$ 的运算关系表示下列各事件:
(1) $A$ 发生, $B$ 与 $C$ 不发生.
(2) $A$ 与 $B$ 都发生,而 $C$ 不发生.
(3) $A, B, C$ 中至少有一个发生.
(4) $A, B, C$ 都发生.
(5) $A, B, C$ 都不发生.
(6) $A, B, C$ 中不多于一个发生.
(7) $A, B, C$ 中不多于两个发生.
(8) $A, B, C$ 中至少有两个发生.

已知总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}(1+\theta) x^\theta, & 0 < x < 1 ， \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$

其中 $\theta>-1$ 是未知参数, 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量.

设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{6 x}{\theta^3}(\theta-x), & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本. 求:
(1) $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) $\hat{\theta}$ 的方差 $D \hat{\theta}$.

设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{\alpha^2}, & 0 \leqslant x \leqslant \alpha, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\alpha>1$ 未知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}$;
(2) 求 $p$ 的最大似然估计量 $\hat{p}$.6.11 解 (1) $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}=\int_0^{\sqrt{\alpha}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\alpha}$.
(2) 当 $0 \leqslant x_1 \leqslant \alpha, 0 \leqslant x_2 \leqslant \alpha, \cdots, 0 \leqslant x_n \leqslant \alpha$ 时, 似然函数为
$$
L(\alpha)=f\left(x_1\right) f\left(x_2\right) \cdots f\left(x_n\right)=\frac{2^n}{\alpha^{2 n}} x_1 x_2 \cdots x_n,
$$

显然 $L(\alpha)$ 关于 $\alpha$ 单调减少, 且 $\alpha \geqslant \max \left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$, 则 $\alpha$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{\alpha}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\} \text {. }
$$

又由 (1) 知 $p=\frac{1}{\alpha}$ 关于 $\alpha$ 是单调函数, 根据最大似然估计的不变性, 有 $p$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{p}=\frac{1}{\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}} .
$$