一、填空题 （共 31 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布, $Y=\sin X$, 则 $\operatorname{Cov}(X, Y)=$
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 且 $P(X < -1)=P(X \geq 3)=\Phi(-1)$, 其中 $\Phi(x)$ 为标准 正态分布函数, 则 $\mu=$ （ ） ,$\sigma=$ （ ）
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $X$ 服从参数为 1 的指数分布, $Y$ 的分布为 $\mathbb{P}(Y=1)=$ $\frac{1}{4}, \mathbb{P}(Y=2)=\frac{3}{4}$, 则 $\mathbb{P}(1 \leqslant \min \{X, Y\} < 2)=$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 独立同分布, 其方差为 $\sigma^2(\sigma>0)$, 又设 $U=\sum_{i=1}^7 X_i, V=\sum_{i=3}^9 X_i$, 则 $U$ 与 $V$ 的相关系数 $\rho_{U V}=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim B(N, p)(0 < p < 1)$ 的简单随机样本, 则 $p$ 的最大似然估计量 $\hat{p}=$
已知某产品的生产函数为 $Q=A K^\alpha L^\beta$, 其中 $Q$ 为产量, $K$ 表示资金, $L$ 表示劳力, $A, \alpha, \beta$ 为正常数, 且 $\alpha+\beta=1$, 则 $K \frac{\partial Q}{\partial K}+L \frac{\partial Q}{\partial L}=$
设二维总体 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 \theta^{-2} \mathrm{e}^{-\frac{x+y}{\theta}}, & 0 < x < y < +\infty, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
( $\left.X_1, Y_1\right),\left(X_2, Y_2\right), \cdots,\left(X_n, Y_n\right)$ 为 $(X, Y)$ 的一组简单随机样本, 则 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}=$
一个口袋中有 3 个白球、 5 个黑球, 每次从中取一球, 且取后放回, 重复抽取 $n$ 次. 已知在取白球 $k$ 次的条件下, 事件 $B$ 发生的概率为 $\frac{k}{n}$, 则 $P(B)=$
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立, 且都服从 $\lambda=\frac{1}{2}$ 的指数分布, $\Phi(x)$ 是标准正态 分布的分布函数, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i \leqslant 2 n+2 \sqrt{n}\right\}=$
设平面区域 $G$ 是由直线 $y=0, x=\mathrm{e}$ 以及曲线 $y=\ln x$ 围成, 随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $G$ 内服 从均匀分布.
(I) 求条件密度函数 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 与 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$;
(II) $F(x, y)$ 是 $(X, Y)$ 的分布函数,求 $F\left(\frac{\mathrm{e}}{2}, \ln \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$;
(III) 设 $\left(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n\right)$ 是取自 $Y$ 的样本, $S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2$ 为样本方差, 求 $E\left(S^2\right)$.
10 个球中只有一个红球, 有放回地抽取, 每次取一球, 直到第 $\mathrm{n}$ 次才取得 $\mathrm{k}$ 次 $(\mathrm{k} \leqslant \mathrm{n})$ 红球的概率为
设 $(\xi, \eta)$ 的联合分布律如表所示, 则 $(\mathrm{a}, \mathrm{b})=(\quad)$ 时, $\xi$ 与 $\eta$ 相互独立。
设 $x_1, \cdots, x_6$ 为正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的一个样本, 则概率 $P\left\{\sum_{i=1} ^6x_i^2>6.54\right\}$ 为
样本容量为 $\mathrm{n}$ 时, 样本方差 $s^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量, 这是因为
某人射击中靶的概率为 $0.75$. 若射击直到中靶为止, 求射击次数为 3 的概率。
设随机变量 $\xi$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}k x^b & 0 < x < 1,(b>0, k>0) \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$ 且 $P\left(\xi>\frac{1}{2}\right)=0.75$, 则 $\mathrm{K}$ 和 $\mathrm{b}$ 分别为多少?
假设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是取 自正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的一个样本, 令 $K=\left(a X_1-2 X_2\right)^2+b\left(3 X_3-4 X_4\right)^2$, 则当 $a=1 / 20, b=1 / 100$ 时, 统计量服从 $\chi^2$ 分 布, 其自由度是多少?
某大学从来自 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生, 测其身高 (单位: $\mathrm{cm}$ ）后算得 $\overline{\mathrm{x}}=175.9, \overline{\mathrm{y}}=172.0 ; \mathrm{s}_2^1=11.3, \mathrm{~s}_2^2=9.1$ 。假设两市新生身高分别服从正态分 布 $\mathrm{X} \sim \mathrm{N}\left(\mu_1, \sigma^2\right), \mathrm{Y} \sim \mathrm{N}\left(\mu_2, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma^2$ 末知。试求 $\mu_1-\mu_2$ 的置信度为 $0.95$ 的置信 区间。 $\left(\mathrm{t}_{0.025}(9)=2.2622, \mathrm{t}_{0.025}(11)=2.2010\right)$ 。
$P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A \cup B)=0.4$, 则 $P(A \bar{B})=$
设随机变量 $X$ 有密度 $f(x)=\left\{\begin{array}{lr}4 x^3, & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其它 }\end{array}\right.$, 则使 $P(X>a)=P(X < a)$ 的常数 $a=$
设随机变量 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$, 若 $P\{0 < X < 4\}=0.3$, 则 $P\{X < 0\}=$
设 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2 x-1}$, 则 $E X=$
设总体 $X \sim N(\mu, 9)$, 已知样本容量为 25 , 样本均值 $\bar{x}=\boldsymbol{m}$; 记 $u_{0.1}=a, u_{0.05}=b ; t_{0.1}(24)=c, t_{0.1}(25)=d ; t_{0.05}(24)=l, t_{0.05}(25)=k$,
则 $\mu$ 的置信度为 $0.9$ 的置信区间为
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim P(1), Z=\left\{\begin{array}{l}0, X=0, \\ Y, X=1,\end{array}\right.$ 则 $X$ 与 $Z$ 的相关
系数为
已知 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x, 0 < x < 1 \\ 0 \text {, 其他 }\end{array}\right.$, 若 $P(X>c)=\frac{3}{4}$, 则 $c=$ （ ） ; 若 $Y=\min (X, 0.6)$, 则 $P(Y=0.6)=$ （ ）
设 $X, Y$ 是独立且均为参数 $p$ 的 $0-1$ 分布随机变量, 定义随机变量 $Z=\left\{\begin{array}{l}0, X+Y=1 \\ 1, X+Y \neq 1\end{array}\right.$, 则
$$
P(X=0, Z=0)=\quad P(X=1, Z=1)=
$$
某元件寿命 $X$ (单位: 小时) 服从 $[100,120]$ 上的均匀分布, 若选取 $n$ 只独立元件寿命分别为 $X_1, \ldots, X_n$, 以 $Y_n$ 表示 $n$ 只元件中寿命超过 110 小时的元件数, 则 $Y_n$ 服从 分
布; 当 $n \rightarrow+\infty$ 时, 由大数定理知, $\frac{Y_n}{n}$ 依概率收敛于 ; $n$ 足够大时, 由中心 极限定理得 $\sum_{i=1}^n X_i$ 近似服从 ，而 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 近似服从
对一正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu, \sigma^2$ 均末知, 共测量 16 次, 得到样本均值为 $\bar{x}=10.6$ 和标 准差为 $s=1.2$ 。设以下显著性水平均为 $0.05$, 检验假设 $H_0: \mu=10 ; H_1: \mu \neq 10$, 是否拒绝 $H_0$ ? 说明理由: ；检验假设 $H_0: \sigma^2 \geq 1 ; H_1: \sigma^2 < 1$ ， 是否拒绝 $H_0$ ? 说明理由:
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim P(1), Z=\left\{\begin{array}{l}0, X=0, \\ Y, X=1,\end{array}\right.$ 则 $X$ 与 $Z$ 的相关
系数为
设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 相互独立, 且 $P(A \cup B)=0.8, P(A)=0.2$, 则 $P(B)=$