试卷11-数学组卷-自助组卷

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试卷11

数学

一、单选题（共 11 题），每题只有一个选项正确

1. 设随机变量

X

的分布函数为

F_{X} (x) = {\begin{cases} 0, x < 3 \\ 0.8, 3 ⩽ x < 5 \\ 1, x ⩾ 5 \end{cases}

, 随机变量

Y

的分布函数为

F_{Y} (x) = {\begin{cases} 0, x < 5 \\ 0.2, 5 ⩽ x < 7 \\ 1, x ⩾ 7 \end{cases}

下列说法正确的是

A.

P (X + Y = 10) = 0.68

B.

若

X

与

Y

不相关, 则

X

与

Y

独立

C.

X + Y = 10

D.

P (X = 3, Y = 7) = 0.64

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2. 设总体

X

的概率分布如下

从总体中抽取

n

个简单随机样本,

N_{1}

表示

n

个样本中取到 -1 的个数,

N_{2}

表示

n

个样本中取到 0 的个数,

N_{3}

表示

n

个样本中取到 1 的个数, 则

N_{1}

与

N_{2}

的相关系数为

A.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

- 1

D.

1

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3. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}

为从正态总体

N (0, σ^{2})

中抽取的一个简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值,

S^{2}

为样本方差, 令统计量

T = \frac{2 \bar{X}}{S}

, 若

P (T < - 1) = 0.15

, 则

P (0 < T < 1) =

A.

0.15

B.

0.25

C.

0.35

D.

0.45

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4. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{cases} \sqrt{θ} x^{\sqrt{θ} - 1}, & 0 ⩽ x ⩽ 1, \\ 0, & 其他, \end{cases}

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

为总体

X

的一组样本观测值, 则末知参数

θ

的极大似然估计值

\hat{θ}

为

A.

\frac{n}{{(\sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i})}^{2}}

B.

\frac{n^{2}}{{(\sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i})}^{2}}

C.

\frac{n^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i}}

D.

\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i}}

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5. 设

X_{1} \sim N (1, 1), X_{2} \sim N (2, 4)

, 又

X_{3} \sim (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array})

, 且

X_{1}, X_{2}, X_{3}

相互独立,

Z = (X_{1} - 1) X_{3} + (X_{2} - 2) (1 - X_{3})

, 则

P {Z ⩾ 0} =

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{2}{3}

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6. 将长度为

1 m

的木棒随机地截成两段, 设第一段长度的

\frac{1}{5}

为

X

, 第二段长度的

\frac{1}{7}

为

Y

, 则

X, Y

的相关系数

ρ_{X Y} =

A.

-1 .

B.

- \frac{1}{35}

C.

\frac{1}{35}

D.

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7. 假设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2}), X_{1}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本, 其样本均值为

\bar{X}

, 如果

P {| X - μ | < a} = P {| \bar{X} - μ | < b}

, 其中

σ > 0

, 则有

A.

a = n b

B.

b = n a

C.

a = \sqrt{n} b

D.

b = \sqrt{n} a

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8. 设平面区域

D = {(x, y) ∣ 0 ⩽ x ⩽ 2, 0 ⩽ y ⩽ 4 - x^{2}}

, 在

D

上随机取一点

(X, Y)

, 令随机变量

U = {\begin{cases} 0, & X ⩽ 1, \\ 1, & X > 1, \end{cases} V = {\begin{array}{cc} - 1, & Y ⩽ 3, \\ 1, & Y > 3, \end{array}

则

U

和

V

的相关系数

ρ_{U V} = ()

A.

\sqrt{\frac{5}{77}}

B.

- \sqrt{\frac{5}{77}}

C.

\frac{5}{\sqrt{77}}

D.

- \frac{5}{\sqrt{77}}

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9. 设二维随机变量

(X, Y)

的分布律

则

P {X + Y \leq 1} =

A.

0.4

B.

0.3

C.

0.2

D.

0.1

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10. 设随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}

独立同分布,

E (X_{i}) = 0, D (X_{1}) = 1, i = 1, 2, \dots, 100

,则由中心极限定理得

P {\sum_{i = 1}^{100} X_{i} \leq 10}

近似于

A.

B.

Φ (1)

C.

Φ (10)

D.

Φ (100)

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11. 设总体

X \sim N (μ, 1), Y \sim N (μ, 1)

, 且

X, Y

相互独立,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

与

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}

分别来自总体

X, Y

的简单随机样本, 设

X = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, Y = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}, S_{X}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

S_{Y}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}

, 则

\frac{\sqrt{n} (\bar{X} - \bar{Y})}{\sqrt{S_{X}^{2} + S_{Y}^{2}}}

服从

A.

t (n - 1)

B.

t (n)

C.

t (2 n)

D.

t (2 n - 2)

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二、填空题（共 16 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 设

X \sim B (2, p), Y \sim B (3, p)

, 且

P {X \geq 1} = \frac{5}{9}

, 则

P {Y \geq 1} =

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13. 设连续型随机变量

X

的密度函数为

f (x) = \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- x^{2} + 2 x - 1} (- \infty < x < + \infty)

, 求

E (X)

与

D (X)

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14. 设随机变量

X

服从区间

(0, 2)

上的均匀分布, 求

\frac{D (X)}{E (X^{2})}

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15. 设

X \sim E (λ), Y \sim E (λ)

且

X, Y

相互独立,

Z = min {X, Y}

, 则

P {Z > E (Z)} =

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16. 设连续函数

f (x)

非负, 且

f (x) \int_{0}^{1} f (t x) d t = 2 x^{2}

, 则

f (x)

在区间

[0, 2]

上的平均值为

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17. 市场上某产品由甲、乙两厂生产. 已知甲厂和乙厂的产品指标服从分布函数

F_{1} (x)

和

F_{2} (x)

,且甲厂的产量是乙厂的 3 倍, 则从市场上任取一件产品, 其指标服从的分布函数为

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18. 设随机变量

X \sim N (0, 1), Y \sim N (0, 4)

, 且

X

与

Y

相互独立, 又

F \sim F (n_{1}, n_{2})

, 记

P {F > F_{α} (n_{1}, n_{2})} = α (0 < α < 1)

, 若

P {\frac{| X |}{| Y |} ⩽ b} = 0.9

, 则

b =

. (用分位点

F_{α} (n_{1}, n_{2})

表示)

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19. 设二维随机变量

(X, Y)

的分布律为

则

P {Y = 2} =

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20. 设随机变量

X \sim N (1, 4)

, 则

D (X) =

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21. 设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {\begin{array}{cc} c x, & 0 < x < 1, 0 < y < 1, \\ 0, & 其他, \end{array}

(1)求常数

c

;
(2) 求

(X, Y)

分别关于

X, Y

的边缘摡率密度;
(3) 试问

X

与

Y

是否相互独立, 为什么?

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22. 设随机变量

X

的分布律为

记

Y = X^{2}

,
求 (1)

D (X), D (Y)

(2)

Cov (X, Y)

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23. 设二维随机变量

(X, Y)

服从正态分布

N (- 1, 2; 2, 2; ρ)

, 若

X + Y

与

X - 2 Y

相互独立, 则

ρ =

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24. 已知二维随机变量

(X, Y)

的联合分布律: 要使

X 、 Y

相互独立, 则

α, β

的值为

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25. 加油站有两套用来加油的设备, 设备

A

是工作人员操作的, 设备

B

是顾客自己操作的,

A 、 B

均装有两根加油软管, 任取一时间,

A 、 B

正在使用的软管数分别为

X 、 Y, X 、 Y

的联合分布律为下表，求:
(1)

P (X \leq 1, Y \leq 1)

(2) 至少有一根软管在使用的概率
(3)

P (X = Y)

(4)

P {X + Y = 2}

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26. 设

A 、 B

为两个随机事件,

P {A} = 0.25, P {B ∣ A} = 0.5, P {A ∣ B} = 0.25

, 令随机变量

X = {\begin{array}{rrr} 1 & A 发生 \\ 0 & A 不发生 \end{array} Y = {\begin{array}{rr} 1 & B 发生 \\ 0 & B 不发生 \end{array}

(1) 求

(X, Y)

的联合分布律
(2) 求

P {X^{2} + Y^{2} = 1}

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27. 将编号为

1, 2, 3

的三个球随机放入编号为

1, 2, 3

的三个盒子中，每盒仅放一个球，令

X_{i} = {\begin{cases} 1, & 第 i 号球放第 i 号盒中, \\ 0, & 其他 \end{cases} (i = 1, 2),

则

ρ_{X_{1} X_{2}} =

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

28. 设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x) = A + B \arctan x (- \infty < x < + \infty)

试求: (1). 系数

A

与

B

; (2). 概率

P {- 1 < X < 1};

(3). 随机变量

X

的密度函数.

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29. 设随机变量

X \sim N (0, 1), Y = X^{2} + 1

, 试求随机变量

Y

的密度函数.

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30. 设二维连续型随机变皇

(X, Y)

的概率密度函数为

f (x, y) = {\begin{array}{cc} C e^{- 2 x}, & x > 0, 0 < y < x, \\ 0, & 其它. \end{array}

1. 确定常数

C

的值;
2. 求

X

与

Y

边缘概率密度函数

f_{X} (x)

和

f_{Y} (y)

, 并判断

X

与

Y

是否独立;
3. 求

Z = X + Y

的概率密度函数

f_{Z} (z)

;
4. 求概率

P (X \leq Y + 2)

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31. 设随机向量

(ξ, η)

服从区域

D

上的均匀分布, 其中

D

是由直线

y = x, x = 0, y =

1所围成的区域. 试求:
(1)

(ξ, η)

的联合密度

p (x, y)

;
(2)

(ξ, η)

的边缘密度

p_{1} (x)

和

p_{2} (y)

;
(3) 条件密度

p (x ∣ η = y)

;
(4)

E (ξ ∣ η = y)

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32. 设随机变量

X, Y

和

Z

相互独立, 且均服从参数为 1 的指数分布. 记

U = \frac{X}{X + Y}, V = \frac{X + Y}{X + Y + Z}, W = X + Y + Z .

(1) 计算随机向量

(U, V, W)

的联合密度函数.
(2) 随机变量

U, V

和

W

是否相互独立? 请证明你的结论.

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33. 设随机变量

X

服从参数为 2 的指数分布。
证明:

\bar{Y} = 1 - e^{- 2 X}

在区间

(0, 1)

上, 服从均匀分布。

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34. 设区域

D = {(x, y) ∣ 0 ⩽ x ⩽ \sqrt{y}, 0 ⩽ y ⩽ 1}

, 二维随机变量

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {\begin{cases} 6 x y, & (x, y) \in D, \\ 0, & 其他. \end{cases}

(I) 判断

X, Y

是否相互独立;
(II) 求

Z = \sqrt{X^{2} + Y}

的分布函数.

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35. 设总体

(X, Y)

的分布函数为

F (x, y) = {\begin{cases} 0, & x < 0 或 y < θ, \\ p [1 - e^{- (y - θ)}], & 0 ⩽ x < 1, y ⩾ θ, \\ 1 - e^{- (y - θ)}, & x ⩾ 1, y ⩾ θ . \end{cases}

其中

p, θ

为末知参数, 且

0 < p < 1

.
(I) 求

X

的概率分布和

Y

的概率密度, 并判别

X

和

Y

的独立性;
(II) 求

Z = X + Y

的概率密度

f_{Z} (z)

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36. 已知编号为 1 的盒子中装有 2 个白球和 1 个红球, 编号为 2 的盒子中装有 3 个白球, 现随机各取一球, 交换放人另一个盒子中, 交换两次, 记

X

为红球所在盒子的编号,

Y

服从参数为 1 的指数分布, 随机变量

X

与

Y

相互独立, 令

Z = \frac{Y}{X}

.
(I) 求

Z

的概率密度;
( II)

Y

与

Z

是否相互独立?

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37. 设随机变量

X

和

Y

独立同分布, 且

X \sim f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}, & x > 0, \\ 0, & x ⩽ 0 . \end{array} 且 Z = \frac{min {X, Y}}{max {X, Y} .}

(I) 求

Z

的概率密度函数;
(II) 判断

X

和

Z

的独立性, 并说明理由.

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38. 设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) | | x + y | ⩽ 1 | x - y ∣, ⩽ 1}

上服从均匀分布, 求:

(I) (X, Y)

的边缘概率密度

f_{X} (x), f_{Y} (y)

;
(II)

Z = X + Y

的概率密度

f_{Z} (z)

;
(III)

P {| Y | ⩽ \frac{1}{2} | | X | ⩽ \frac{1}{2}}

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